Théorème de Rolle ?

MedMasi · January 2020

Bonjour chers matheux

Soit la fonction $\ f(x)= \cos(\sqrt{x}) $.
Comment peut-on montrer que $$
\exists c \in\, ]\tfrac{\pi}{2} ; \tfrac{3\pi}{2} [, \quad \frac{\sin(\sqrt{c})}{2 \sqrt{c}} =0 .

$$ J'ai essayé d'appliquer théorème de Rolle à la fonction $g(x)= f(x^2) $, mais rien de nouveau ! une idée ?

Amathoué · January 2020

Bonjour,

Pense plutôt à Darboux.

Quoique, ça m’a l’air bien faux ton truc...

Poirot · January 2020

Quel rapport avec la fonction $f$ ?

Ne sais-tu pas résoudre une équation de la forme $\frac{a}{b} = 0$ ?

gerard0 · January 2020

L'intervalle n'est pas le bon ; mais il est assez élémentaire que $\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} = - f'(x)$.
Le plus petit $c$ qui annule $f'$ vaut $\pi^2$.

Cordialement.

MedMasi · January 2020

Exactement mr @gerard0, le choix de ce l'intervalle qui m'a poussé à choisir la fonction $g$ décrite ci-dessus, j'ai essayé aussi de travailler sur un intervalle inclus dans $ ]\frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi}{2} [ $ qui complète les hypothèses de Rolle, mais encore je n'ai pas pu à le trouver.