f et 1/f dans $L_1(0,\infty)$

Bonjour,
$\forall x, 1=\sqrt{f(x)}/\sqrt{f(x)}\leqslant \frac12(f(x)+\frac1{f(x)})$ et 1 n'est pas intégrable.

Sinon leurs racines seraient L^2 donc leur produit serait intégrable.

En fait, la preuve de Riemann_lapins_cretins repose sur le même principe que celle d'aléa et moi car pour montrer que le produit de deux fonctions $L^2$ est $L^1$, on utilise la même inégalité $fg\leqslant\frac12(f^2+g^2)$.

Je dirais même que leur preuve est mieux dans le sens où la mienne dit Holder explicitement, donc est peu économique.

Alors, en fait, quand j'étais petit (en terminale), j'avais cherché un exercice d'olympiade qui demandait de trouver le minimum de

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}\dots +\frac{x_n}{x_1}$.

La minoration $x\mapsto x+\frac1{x}\ge 2$ était un préliminaire et ça m'a marqué.

C'est très très important ce qu'on nous donne à manger quand on est petit...

Les enseignants ont de très grosses responsabilités; il est important de le rappeler alors qu'on veut leur sucrer leur retraite.