Étude d'une série.

J'espère ne pas dire de bêtise, mais je crois que
$$
\frac{1}{\text{ppcm}(a_0,\dots,a_n)} =
\frac{\text{pgcd}(a_0,\dots,a_n)}{a_0\times\dots\times a_n}.$$

Le dénominateur est minoré par une factorielle, et le numérateur majoré par $a_0$.

Ah ben si c'est une grosse bêtise : par exemple pour $a_i = 2^i$, le ppcm est $2^{n}$ et le pgcd, c'est $1$. X:-(

Au petit bonheur : si les $(a_n)$ ont une infinité de facteurs premiers distincts (dans l'ensemble), ça doit être clair ; sinon, s'il n'y en a que $N$ en tout, on doit avoir $b_n\ge2^{n/N}$.

Enfin, en tous cas, il ne me semble pas dire une bêtise en remarquant que $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ est un entier.

Question : combien de fois d'affilée ce quotient peut-il valoir $1$ ? (parce que les autres fois, $(b_n)$ diminue au moins aussi rapidement que $\frac{1}{2^n}$.)

(je sens que mon approche n'est pas bonne parce qu'il me semble qu'estimer le nombre de fois d'affilée où on peut avoir $b_n \equiv \text{cst}$, tout en ayant les $(a_k)$ strictement croissants est lié à l'agencement des nombres premiers parmi les entiers etc, ce qui est bien compliqué ! Mais je crois avoir toutefois compris qu'en ces matières, souvent, l'astuce est de ne pas répondre à la question qui a l'air d'être posée, mais seulement de répondre à celle qui l'est (à la question qui est vraiment posée, donc !))

Des minorations de $\textrm{ppcm} (a_0,\dotsc,a_n)$, lorsque $(a_n)$ est une suite strictement croissantes d'entiers, existent dans la littérature, mais sont surtout disponibles lorsque la suite est particulière.

Quelques exemples :

1. Le plus connu : $a_n = n$. Le Théorème des Nombres Premiers fournit $\log \textrm{ppcm} (1,\dotsc,n) \sim n$ lorsque $n \to \infty$.

2. Moins connu : $(a_n)$ est une suite arithmétique. Si la raison $r$ et le premier terme $a_0$ sont positifs et premiers entre eux, alors , pour tout $n \geqslant 1$, $\textrm{ppcm} (a_0,\dotsc,a_n) \geqslant a_0 (r+1)^{n-1}$.

3. Soit $P \in \Z_{\geqslant 0}[X]$ et on suppose que, pour tout $n \in \Z_{\geqslant 0}$, $a_n = P(n)$. Alors, pour tout $n \geqslant 7$, $\textrm{ppcm} (a_1,\dotsc,a_n) \geqslant 2^n$.

4. Sous la seule hypothèse "$(a_n)$ est une suite strictement croissantes d'entiers", je ne connais que celui-là : $$
\textrm{ppcm} (a_0,\dotsc,a_n) \times \underset{0 \leqslant j \leqslant n}{\textrm{ppcm}} \Big( \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq j}}^n (a_i-a_j) \Big)\ \text{ est un multiple de }\ \ a_0 \dotsb a_n.$$

Bonsoir, on me demande la nature de la série de terme général $a_{n}=\frac{1}{ppcm(u_{0},\ldots,u_n)}$, où $(u_{n})$ est une suite strictement croissante d'entiers $n \geq 1$.

Dans le fil de @totem, j'avais juste publié afin d'avoir de l'aide pour l'étude de cette série.
@gebrane, tu peux poster la solution :-D.

Voila pour Attien

@gebrane,c'est chaud là.... ::o

Divers articles sur le ppcm(a(1),...,a(n)) voir les articles de Bakir Farhi dans 1) le plus commun multiple
http://farhi.bakir.free.fr/

Ce n'est pas Chebyshev qui a utilisé cette méthode, mais Mohan Nair, bien plus récemment (1982).

Par ailleurs, on peut se passer de cette intégrale : en effet, en utilisant une identité combinatoire, que l'on peut trouver par exemple dans le Gould, il est connu que
$$\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{(-1)^k}{n+k+1} = \frac{1}{(2n+1) {2n \choose n}}.$$
Le membre de gauche est un rationnel dont le dénominateur divise $d_{2n+1} = \textrm{ppcm} (1,\dotsc,2n+1)$, de sorte que
$$(2n+1) {2n \choose n} \mid d_{2n+1}$$
et la minoration bien connue ${2n \choose n} \geqslant \frac{4^n}{2 \sqrt n}$ (récurrence) entraîne que $d_{2n+1} \geqslant n^{1/2}4^n$, et donc aussi $d_{2n+2} \geqslant d_{2n+1} \geqslant n^{1/2}4^n$.

Si $n \geqslant 16$, cela implique que $d_{2n+2} \geqslant d_{2n+1} \geqslant 4^{n+1}$, puis $d_n \geqslant 2^n$. Une simple vérification numérique montre que cette minoration est vraie pour $n \in \{7, \dotsc,15\}$.

Ensuite, comme
$$d_n \leqslant \prod_{p \leqslant n} p^{\log n/ \log p} = \prod_{p \leqslant n} n = n^{\pi(n)}$$
il vient $\pi(n) \geqslant \dfrac{n \log 2}{\log n}$ pour $n \geqslant 7$.

Au final, il me semble que personne n’a donné la solution astucieuse mais très simple avec l’indication de Calli.
Pour tout entier naturel non nul $n$, on a $d(n)\leq 2\sqrt{n}$.

Donc, en notant $u_n=\mathrm{ppcm}(a_1,\ldots,a_n)$, on a $u_n\geq d(u_n)^2/4\geq n^2/4$ et c’est terminé. B-)

Calli Mrj voyons si le diable s 'y cache! Pourquoi les deux inégalités?