Calculer la limite de X(n+1)-X(n)

Pour tout $n \geq 1$, $x_{n+1} - x_n = (n+1 - \ln(x_{n+1})) - (n-\ln(x_n))$.

Pourquoi ce serait $+\infty$ ? Ton utilisation des logarithmes me semble bien fantaisiste...

Mes vieilles mirettes ont du mal à déchiffrer...

Ce que je vais dire n'est pas une réponse directe au questionneur, qui avec l'aide de Poirot finira bien par arriver au bout. C'est une réflexion sur l'énoncé lui-même. L'inventeur de cet énoncé est parti d'une idée sympathique : et si je cherchais un développement asymptotique de la suite $x_n$ définie pour $n\in \mathbb{N}^{\ast}$ par : $x_{n}+\ln x_{n}=n$ ? Mais le pauvre, il s'est perdu dans des complications superflues, alors qu'on pouvait procéder bien plus simplement.
$\bullet $ La fonction $f:x\mapsto x+\ln x$ est strictement croissante et continue sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast }$, et l'on a : $f(1)=1$ et $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=+\infty $. D'après le TVI, pour chaque $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, il existe donc un seul réel $x_{n} $ tel que : $f(x_{n})=n$. En particulier, $x_{1}=1$.
$\bullet $ On a : $f(x_{n+1})=n+1>n=f(x_{n})$ d'où : $x_{n+1}>x_{n}$. La suite $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$ est strictement croissante. Inutile pour le développement asymptotique, mais toujours bon à savoir.
$\bullet $ On a : $n=x_{n}+\ln x_{n}<2x_{n}$, d'où : $x_{n}>\frac{n}{2}$, et par conséquent : $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }x_{n}=+\infty $.
$\bullet $ On a quand $n\rightarrow +\infty $ : $n=x_{n}+\ln x_{n}=x_{n}(1+\frac{\ln x_{n}}{x_{n}})\sim x_{n}$.
$\bullet $ On a quand $n\rightarrow +\infty $ : $x_{n}=n(1+o(1)) $, d'où : $\ln x_{n}=\ln n+o(1)$, et par suite : $x_{n}=n-\ln x_{n}=n-\ln n+o(1)$.
$\bullet $ Et alors, c'est une mécanique qui s’enclenche. On a quand $n\rightarrow +\infty $ : $x_{n}=n(1-\frac{\ln n}{n}
+o(\frac{1}{n}))$, d'où : $\ln x_{n}=\ln n-\frac{\ln n}{n}+o(\frac{1}{n}) $, et par suite : $x_{n}=n-\ln x_{n}=n-\ln n+\frac{\ln n}{n}+o(\frac{1}{n})$.
$\bullet $ Et on peut continuer ad libitum. On a quand $n\rightarrow +\infty $~: $x_{n}=n(1-%
\frac{\ln n}{n}+\frac{\ln n}{n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}}))$, d'où : $\ln x_{n}=\ln n+(-\frac{\ln n}{n}+\frac{\ln n}{n^{2}})-\frac{(\ln n)^{2}}{2n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$, et par suite : $x_{n}=n-\ln x_{n}=n-\ln n+\frac{\ln n}{n}+\frac{(\ln n)^{2}}{2n^{2}}-\frac{\ln n}{n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
11/01/2020