Exercice sur les suites

Peut être en essayant d'intégrer la fonction inverse, qui a la bonne idée d'être décroissante, sur un intervalle qui va bien....

A+

F.

Connais-tu le théorème des accroissements finis ? Si oui, c'en est une application immédiate.

Quels outils as-tu à ta disposition ? Il faut connaître des choses sur la fonction $\ln$ tout de même !

supp

Bonsoir,
On définit deux fonctions $f$ et $g$ par $f(x)=\ln(1+x)-\dfrac x{1+x}$ et $g(x)=x-\ln(1+x)$ pour tout $x$ dans $\R_+$.
Après avoir étudié les variations de $f$ et $g$ sur $\R_+$, montrer que $\dfrac x{x+1}<\ln(1+x)<x$ pour tout $x$ dans $\R^\star_+$.
En déduire que pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on a $\dfrac 1{n+1}<\ln(1+n)-\ln(n)<\dfrac 1n$.

\begin{align}\ln(1+n)-\ln n-\frac{1}{n}&=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n}\end{align}

On pose $x=\frac{1}{n}$, on obtient: $f(x)=\ln(1+x)-x$

On étudie cette fonction sur $[0;\infty[$, on obtient $\displaystyle f^\prime(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=-\frac{x}{1+x}$
Cette fonction est strictement décroissante sur $[0;\infty[$ et donc pour tout $\displaystyle x\geq 0,f(x)\leq f(0)$, or, $f(0)=\frac{1}{1}-1=0$
Donc, pour tout $x>0, \ln(1+x)-x<0$ et cela permet d'établir l'inégalité: pour tout $\displaystyle n>0,\ln(1+n)-\ln n<\frac{1}{n}$

PS:
J'arrive quelques minutes après la fin de la bataille désolé. :-D

PS2:
Pour la deuxième inégalité on a $\displaystyle \ln(1+n)-\ln n-\frac{1}{1+n}=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}\times \frac{1}{1+\frac{1}{n}}$
Il suffit de considérer la fonction $\displaystyle g(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$

Bonjour
Avec les accroissements finis cela fonctionne.
La fonction $\ln$ est continue sur $[n,n+1]$ et dérivable sur $]n,n+1[$, il existe donc $n+\theta \in \, ]n,n+1[,$ avec $ 0 \le \theta \le 1$ tel que $\ln(n+1)-\ln(n) = 1 \times\frac{1}{n+\theta}$, soit
$$\frac{1}{n+1} \lt \ln(n+1)-\ln(n) \leq \frac{1}{n}.$$