Ton $\mathcal F$ est défini comme l'intersection de noyaux de formes linéaires continues. Donc il est en particulier fermé, et donc complet. Pour la compacité, je n'y connais rien.
J'ajouterai que sans contrainte supplémentaire sur $f''+g'$ dans la définition de $\mathcal{F}$ il me semble que $\mathcal{F}$ n'est pas fermé. Il suffit de considérer $(f,0)$ avec $f$ dans $H^2$ mais pas dans $H^3$, donc $(f,0)$ n'est pas dans $\mathcal{F}$ mais $(f,0)$ sera limite dans la norme de $H^2\times H^1$ d'une suite $(f_n,0)$, avec $f_n$ dans $H^3$, donc une suite de $\mathcal{F}$ (le bord on peut toujours l'éviter, avoir un support compact)
Sinon, quel est le contexte ? un système, un point fixe ?
D'abord merci pour ta réponse. En fait, le contexte dépend des espaces de Sobolev.
Après les études, je trouve que si on pose $f \in H^3(0,l)$ et $g \in H^2(0,l)$ le problème va marcher.
Mais il reste d'être sûr si les espaces $
\{u \in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}\ $ et $\ \{u \in H^1(0,l) \mid u ' (0)=0\}$ sont fermés.
Est-ce qu'ils sont fermés ?
Merci d'avance à tous.
En mettant le paquet sur la régularité, c'est-à-dire en remplaçant $H^2 \times H^1$ par $H^3 \times H^2$, l'ensemble est bien défini (inutile même de spécifier la régularité de $f''+g'$) et il est fermé. Mais c'est peut-être à toi de savoir comment le justifier, à l'aide d'un cours sur les Sobolev (en dimension 1)...
Bonjour
Perso, j'ai 'impression que F vient d'un problème concret. Donc si les conditions de bords sont correctes, j'aurai simplement changé la condition $f''+g'\in H^1(0,l)$ par $f''+g'\in H^2(0,l)$ dans la définition de F.
Cela donne du sens à la question, et F est plus grand que le F de @O.G
Réponses
J'ai tendance à penser que oui. En prenant une suite bornée, avec Rellich et la fermeture de F ça a l'air de passer.
Ton ensemble F n'a pas de sens: en effet f''+g' appartient à H^1(0,l) alors
(f''+g')'(l) n'est pas défini.
J'ajouterai que sans contrainte supplémentaire sur $f''+g'$ dans la définition de $\mathcal{F}$ il me semble que $\mathcal{F}$ n'est pas fermé. Il suffit de considérer $(f,0)$ avec $f$ dans $H^2$ mais pas dans $H^3$, donc $(f,0)$ n'est pas dans $\mathcal{F}$ mais $(f,0)$ sera limite dans la norme de $H^2\times H^1$ d'une suite $(f_n,0)$, avec $f_n$ dans $H^3$, donc une suite de $\mathcal{F}$ (le bord on peut toujours l'éviter, avoir un support compact)
Sinon, quel est le contexte ? un système, un point fixe ?
D'abord merci pour ta réponse. En fait, le contexte dépend des espaces de Sobolev.
Après les études, je trouve que si on pose $f \in H^3(0,l)$ et $g \in H^2(0,l)$ le problème va marcher.
Mais il reste d'être sûr si les espaces $
\{u \in H^1(0,l)\mid u(0)=0\}\ $ et $\ \{u \in H^1(0,l) \mid u ' (0)=0\}$ sont fermés.
Est-ce qu'ils sont fermés ?
Merci d'avance à tous.
En mettant le paquet sur la régularité, c'est-à-dire en remplaçant $H^2 \times H^1$ par $H^3 \times H^2$, l'ensemble est bien défini (inutile même de spécifier la régularité de $f''+g'$) et il est fermé. Mais c'est peut-être à toi de savoir comment le justifier, à l'aide d'un cours sur les Sobolev (en dimension 1)...
Perso, j'ai 'impression que F vient d'un problème concret. Donc si les conditions de bords sont correctes, j'aurai simplement changé la condition $f''+g'\in H^1(0,l)$ par $f''+g'\in H^2(0,l)$ dans la définition de F.
Cela donne du sens à la question, et F est plus grand que le F de @O.G
Merci pour la clarification...
Attention tout de même : ajouter sans précaution la condition de régularité sur $f''+g'$ et avoir $F$ fermé ne font pas bon ménage...