Principe du maximum.

Soit $P=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ un polynôme complexe tel que $|P|$ atteint un maximum local en $0$ (ensuite on translate pour le cas général). Alors $r \mapsto \int_0^{2\pi} |P(re^{it})|^2 dt = 2\pi \sum_{k=0}^n |a_k|^2 r ^{2k}$ (*) atteint aussi un maximum local en $0$. Par suite $a_1= ...=a_n = 0$.

Pour prouver (*), remarquer que pour tous $r,t$ réels, on a $$
\begin{align}
\left |P(re^{it}) \right |^2= P(re^{it})\overline {P(re^{it})} & = \Big (\sum_{p=0}^n a_p r^p e^{-itp} \Big )\Big (\sum_{q=0}^n \overline a_q r^q e^{-itq} \Big ) \\
& = \sum_{0\leq p,q \leq n } a_p \overline{a_q} r^{p+q} e^{it(p-q)} \\
& = \sum_{p=0}^n a_p \overline a_p r^{p+p} e^{it(p-p)} + \sum_{0\leq p,q \leq n; p\neq q } a_p \overline{a_q} r^{p+q} e^{it(p-q)} \\
&= \sum_{p=0}^n |a_p|^2 r^{2p} + \sum_{0\leq p,q \leq n; p\neq q } a_p \overline{a_q} r^{p+q} e^{it(p-q)}
\end{align}
$$ D'autre part pour tout entier relatif on a $\int_0^{2\pi} e^{itn} dt = 0$ si $n \neq 0$ et $2\pi$ si $n=0$ ce qui conclut la preuve de (*) (en bref l'égalité de Parseval est élémentaire pour des polynômes).