Fonction continue en un et un seul point

Boole et Bill · January 2020

Bonjour,
Je cherche un exemple de fonction réelle continue en un point et un seul, ou alors en un nombre dénombrable de point. En fait je me suis fait la remarque suivante : au lycée, on présente intuitivement les fonctions continues comme celles dont on peut tracer le graphe sans lever le stylo. Ce souvenir m'a fait penser que la continuité en un point, bien qu'elle soit une notion locale, devait impliquer la continuité sur un voisinage de ce point. N'ayant pas réussi à démontrer cette conjecture et n'ayant jamais entendu parler d'un tel résultat, je me suis dit qu'il était faux, d'où ma demande de contre exemple.
Merci d'avance pour vos idées.

PS : Je parle de la continuité au sens classique, topologie de l'ordre uniquement merci ;-)

gb · January 2020

Bonjour,

$x\mapsto x1_\mathbf{Q}(x)$ devra te convenir.

Calli · January 2020

Bonjour,
Il y a $x\mapsto x\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Elle n'est continue qu'en 0.
Edit : grillé !

Boole et Bill · January 2020

Merci à vous!

Riemann_lapins_cretins · January 2020

Celle qui vaut 0 sur les irrationnels et associe p/(q+1) si p/q est rationnel est continue sur R-Q et pas sur Q je crois. J'ai plus l'exemple exact en tête mais je le trouve très cool, ils doivent savoir ici.

Calli · January 2020

Riemann_lapins_cretins, c'est plutôt $\frac{p}q \mapsto \frac1q$ sur les rationnels (et toujours $x\mapsto 0$ pour les irrationnels), je pense.

reuns · January 2020

Sinon $x1_{\Q}$ est égale à $0$ en norme $L^1$, si on veut une fonction vraiment continue en $0$ et nul part ailleurs, alors il y a
$$h(x)=1_{x > 0}, \qquad f(x)=x\sum_{k\ge 0,n\in \Z} 2^{-2^k} e^{-|n|} h(2^k x+n)$$
$h(x)=|\sin(1/x)|$ marche aussi et donne un autre style de discontinuité

Riemann_lapins_cretins · January 2020

C'est sans doute ça !
J'aime bien l'idée qu'on puisse être continu "juste en un point", c'est le plus gros mur contre-intuitif que je me sois mangé.

Poirot · January 2020

@Boole et Bill : en fait on montre facilement que l'ensemble des points de continuité d'une fonction de $\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ est un $G_{\delta}$ (intersection dénombrable d'ouverts). En particulier, aucune telle fonction ne peut avoir $\mathbb Q$ comme ensemble des points de continuité (d'après le théorème de Baire).

Question : est-ce que tout $G_{\delta}$ est l'ensemble des points de continuité d'une fonction de $\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ ?

Calli · January 2020

Poirot, oui.

Edit : Ah zut, la photo est tournée. Je ne sais pas comment la remettre dans le bon sens.
[Voilà qui est corrigé. ;-) AD]
Edit 2 : Merci beaucoup AD ! 95216