Équation avec une différentielle

Bonjour,

Connais-tu une fonction \(f\) telle que : \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = \arctan \dfrac yx\) ?

Bonjour,
si on passe en coordonnées polaires $x=r\cos\theta ,\ y =\sin\theta\ $ et $\ r^2=x^2+y^2$ c'est plus facile.

Que devient l'équation ?

$dx=-r \log r (\cos \theta) d \theta/ \theta$

bd2017 écrivait:

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C'est à dire qu'il résoudre $\partial f / \partial x =arctg(y/x)$

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Une solution a été donnée (f(x,y) =x\arctan\dfrac yx + \dfrac y2\ln(x^2+y^2)\).

J'attends toujours que cadiou donne une expression de \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) pour terminer de résoudre l'exercice.
Peut-être l'a résolu par ailleurs…

Il suffit de modifier légèrement \(f\) en s'arrangeant pour :
— conserver la dérivée partielle en \(x\) ;
— supprimer le terme parasite dans la dérivée partielle en \(y\).

On obtiendra ainsi une solution de l'équation différentielle ; les autres s'en déduiront aisément.
Reste le problème de savoir sur quel sous-ensemble de \(\R^2\) sont définies ces solutions parce que, jusqu'à présent, on s'est contenté de calcul formel sur les dérivées partielles.

Bonjour,
$\arctan\dfrac yx dx + \dfrac12 \ln(x^2+y^2)dy=0.\qquad (1)$
Je vous fait part de mes calculs (j'espère qu'ils sont corrects).

Pour $\arctan\dfrac yx dx$ :
$\arctan\dfrac yx= \dfrac\pi2 signe(\dfrac yx) - \arctan(x/y)$
la primitive de $\arctan(x/y)$ par rapport à $x$ est $x \arctan\dfrac xy-\dfrac{y^2}{2} \ln(x^2+y^2) +K.$

Pour $\dfrac12 \ln(x^2+y^2)$ :
la primitive par rapport à $y$ est : $\dfrac y2\ln(x^2+y^2)+ x\arctan\dfrac yx -y +K.$

Au final je trouve pour primitive de (1) :
$x\dfrac\pi2 signe(\dfrac yx) -[x \arctan\dfrac xy-\dfrac{y^2}{2} \ln(x^2+y^2) ] +\dfrac y2\ln(x^2+y^2)+ x\arctan\dfrac yx -y +K$