Convergence uniforme

Pour parler de convergence normale, il faut une norme, donc une structure d'EVN sur $Y$. Je n'ai jamais vu ce théorème autrement qu'avec l'hypothèse "$Y$ est un espace de Banach" donc j'imagine que la réponse est oui.

Homo Topi a écrit:

Pour parler de convergence normale, il faut une norme, donc une structure d'EVN sur $Y$.

Et je dirais même qu'avant ça, il faut une addition pour parler de série de fonction.

C'est surtout que la convergence normale, ça a généralement lieu dans un espace vectoriel.

Si on veut écrire des séries, il faut pouvoir écrire des sommes.

Sinon, oui, pour l'existence de la limite des sommes partielles de la série de fonctions, il faut (vaut mieux) que la convergence absolue (convergence normale) implique la convergence simple (convergence absolue), donc oui, de la complétude de $Y$ qui implique celle de $B(X,Y)$ (espace des fonctions bornées.)

J'ai prouvé tout à l'heure que l'hypothèse de complétude est nécessaire, ce qui est plus fort que juste donner un contre-exemple. Je peux quand même donner un contre-exemple concret si tu veux, mais je ne sais pas si ça va plus t'éclairer et j'ai peur qu'il fasse mal à la tête.

Soient $X=[0,1]$ et $Y=\mathbb{R}[T]$ (*) muni de la norme uniforme sur $[0,1]$. $Y$ n'est pas complet (conséquence du théorème de Weierstrass par exemple). Soit $\displaystyle f_n : x\mapsto \frac{x^n}{n!}\, T^n$. Alors, en tout $x\in X$, $\displaystyle\sum_{k= 0}^n f_k(x)$ converge dans $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ vers $t\mapsto e^{xt}$ qui n'est pas un polynôme. Et $\|f_n(x)\| = \frac{x^n}{n!}$, donc $\|f_n\|_\infty = \frac1{n!}$. Ainsi, $\sum f_n$ converge normalement, mais elle ne converge dans $Y$ en aucun point de $X$ (édit : sauf $0$).

(*) Je note la variable formelle $T$ au lieu de $X$, car sinon il y a un conflit de notations.