Opérateurs à noyau
Bonsoir
je cherche a démontrer ce lemme.
Soit $p_1,p_2\in [1,\infty]$. les propriétés suivantes sont équivalentes.
1) $K$ définit un opérateur borné de $L^{p_2}$ et $L^{p_1}.$
2) Il existe une constante $C$ telle que, pour toute fonction $f\in L^{p_2}(\Omega)$, on ait $$
\int_{\Omega}\Big(\int_{\Omega}|K(x,y)||f(y)|d\mu(y)\Big)^{p_1}d\mu(x)\leq C||f||_{p_2}^{p_1},
$$ où $(\Omega,\mu)$ est un espace mesuré, $\mu$ est $\sigma$-fini, $K:\Omega\times \Omega\to\mathbb{K}$ est un noyau de $\Omega$ c-à-d une fonction mesurable
http://matheron.perso.math.cnrs.fr/enseignement_fichiers/topanafonc.pdf (page 62).
Comment montrer l'équivalence s'il vous plaît.
je cherche a démontrer ce lemme.
Soit $p_1,p_2\in [1,\infty]$. les propriétés suivantes sont équivalentes.
1) $K$ définit un opérateur borné de $L^{p_2}$ et $L^{p_1}.$
2) Il existe une constante $C$ telle que, pour toute fonction $f\in L^{p_2}(\Omega)$, on ait $$
\int_{\Omega}\Big(\int_{\Omega}|K(x,y)||f(y)|d\mu(y)\Big)^{p_1}d\mu(x)\leq C||f||_{p_2}^{p_1},
$$ où $(\Omega,\mu)$ est un espace mesuré, $\mu$ est $\sigma$-fini, $K:\Omega\times \Omega\to\mathbb{K}$ est un noyau de $\Omega$ c-à-d une fonction mesurable
http://matheron.perso.math.cnrs.fr/enseignement_fichiers/topanafonc.pdf (page 62).
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Réponses
alors
$\displaystyle \int_{\Omega}\int_{\Omega}\big(|K(x,y)|\times|f(y)| d\mu(y)\big)^{p_1}d\mu(x)\leq c ^{p_1} \int_{\Omega}\int_{\Omega}\big(|f(y)| d\mu(y)\big)^{p_1}d\mu(x)$
how to get Comment obtenir $C ||f||_{p_1}^{p_2}$ ?
$\int_{\Omega} (\int_{\Omega}|K(x,y)| |f(y)| ) dy) ^{p_1}dx \leq c^{p_1} ||f||_{p_2}^{p_1}$
c'est bon j'ai compris , donc $C= c_1^{p_1}$
La relation $$\int_{\Omega}\Big(\int_{\Omega}|K(x,y)||f(y)|d\mu(y)\Big)^{p_1}d\mu(x)\leq C||f||_{p_2}^{p_1},$$ est équivalente à $||Kf||_{p_1}^{p_1} \leq C ||f||^{p_1}_{p_2}$, elle-même équivalente à $||Kf||_{p_1} \leq c ||f||_{p_2}$ (avec $c = C^{1/p_1} > 0$), donc ce que tu demandes est immédiat à constater. Il me semble que ce qui te manque c'est de comprendre l'opérateur $K : L^{p_2} \rightarrow L^{p_1}$ définit ainsi.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer ?