Problème de Cauchy

Bonjour,

Personnellement, j'ai toujours rencontré le problème de Cauchy avec \(f\) définie sur un ouvert \(U\) de \(\R\times\R^n\), mais qui peut ne pas être de la forme \(I\times D\).

Dans ton exemple, \(f\) est définie sur \(D=\R\times[-1,1]\), de classe \(C^1\) sur \(U=\R\times]-1,1[\).

Comme \(U\) est l'intérieur de \(D\), c'est le plus grand ouvert sur lequel on puisse travailler.
Comme \(f\) est localement lipschitzienne sur \(U\), les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sont satisfaites et il est inutile vouloir changer l'ouvert \(U\) : il sera toujours temps de le faire en cas de besoin.

Par séparation des variables tu obtiens la solution maximale dans ce contexte.

Pour un prolongement éventuel en une solution pour laquelle le point \(\bigl(x,y(x)\bigr)\) du graphe « sort » de l'ouvert \(U\) (tout en restant dans \(D\)), il faut raisonner au coup par coup.

Dans ton exemple, la fonction \(f\) est à valeurs négatives : toutes les solutions de l'équation différentielle sont décroissantes et, au vu de \(D\), à valeurs dans \([-1,1]\) : le prolongement que tu as envisagé est donc le seul possible.