Analyse complexe exercice

On commence par un paramétrage du segment qui relie $a-jR$ à $a+jR$, disons $z=a+jx$ avec $x\in[-R,R]$.
On calcule $\mathrm{d}z=j\,\mathrm{d}x$.
On remplace dans l'intégrale, ce qui conduit à calculer : \[\lim_{R\to+\infty}\frac1{2j\pi}\int_{-R}^R\mathrm{e}^{(a+jx)t}\frac{1}{a+jx}j\mathrm{d}x.\]Il pourrait être pertinent de refermer le segment en un lacet en ajoutant un demi-cercle de diamètre $[a-jR,a+jR]$ placé du bon côté (selon le signe de $t$) pour que l'intégrale le long du cercle tende vers $0$ quand $R$ tend vers l'infini.

Cyrano, en analyse complexe c'est comme ça qu'ils prouvent le théorème d'inversion de Laplace, en le montrant pour $1/z$ donc $e^{-zt}/z$, puis en l'étendant à $\int_0^\infty f(t)e^{-zt}dt= \frac{f(0)}{z}+\int_0^\infty f'(t)\frac{e^{-zt}}{z}dt$ en supposant que $f'\in L^1$.