Développements limités, MacLaurin

Bonjour,

Pour faire simple, il y a trois formules de Taylor différant par l'expression du reste.

Le reste intégral est une valeur exacte du reste, exprimée à l'aide de termes qui sont tous exactement connus.

Le reste de Lagrange est aussi une valeur exacte du reste, mais exprimée en fonction d'un \(\theta\) dont on sait seulement qu'il est compris entre \(0\) et \(1\), ce qui est « moins précis » que le reste intégral. On se contente souvent d'en déduire une majoration du reste.

Le reste de Young donne non pas une valeur du reste, mais, exprimée sous forme d'un \(o(h^n)\) une propriété du reste lorsque \(h\) tend vers 0, c'est-à- dure une propriété locale, alors que les deux premières expressions du reste permettent une évaluation sur un intervalle « macroscopique » de longueur \(\lvert h \rvert\).

Enfin les développements limités sont la généralisation de la formule de Taylor-Young à des fonctions non nécessairement dérivables.

Dans ton exemple, on utilise le reste de Lagrange parce que le résultat que l'on veut obtenir n'est certainement pas accessible par un reste de Young et que, a contrario, on n'a pas besoin de la « puissance de feu » du reste intégral.