Convergence $faible^*$ dans $L^p$

$f\in C^0_c]-1,1[,\|f\|_\infty=1,f(0)=1, f_n=f(nx)\in L^\infty$, $\|f_n\|_\infty=1$ et dont le support est contenu dans $[-1/n,1/n]$.

Pour tout $g\in L^1$, $\lim_n \int g f_n= 0$, donc $f_n \to 0$ pour la topologie faible* sur $L^\infty=(L^1)'$,

mais $\lim_n \int \delta f_n=1$, donc $f_n$ ne tend pas vers $0$ pour la topologie faible sur $L^\infty$.

(où $\delta$ est le prolongement de $\delta\in C^0(\R)'$ à une forme linéaire continue $\in L^\infty(\R)'$)