Convergence d’une série de fonctions
dans Analyse
Bonjour à tous,
Quelqu’un pourrait m’éclairer sur cette affirmation.
Soit fn : R->R, la série de fonctions définie par fn(x)= xsin(nx)/n^2 converge simplement sur R pour tout entier n >0, x appartenant à R et converge normalement sur [-a,a] pour tout a > 0.
Merci pour vos réponses.
Quelqu’un pourrait m’éclairer sur cette affirmation.
Soit fn : R->R, la série de fonctions définie par fn(x)= xsin(nx)/n^2 converge simplement sur R pour tout entier n >0, x appartenant à R et converge normalement sur [-a,a] pour tout a > 0.
Merci pour vos réponses.
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Réponses
Ce qui est faux car l’affirmation dit qu’elle converge alors je ne vois pas trop comment vérifier cette affirmation.
AD
La première chose est de reprendre les cours précédents, en particulier ceux sur les équivalents et les limites pour éviter d'écrire des énormités. La deuxième est de rectifier ton affirmation initiale, de façon qu'elle ait vraiment un sens :
"... la série de fonctions définie par fn(x)= xsin(nx)/n^2 .." Que veut dire "définie par" ? C'est la série de terme général fn(x) ou bien une série que tu n'as pas présentée précédemment et dont la somme est fn(x) ? Dans ce deuxième cas, on ne peut rien savoir sur la série. Je vais donc supposer que c'est le premier cas.
"... converge simplement sur R pour tout entier n >0" ?? Tiens, la convergence d'une série dépendrait de l'indice utilisé pour l'écrire ? Et si je décide de calculer $\sum\limits_{p=1}^{+\infty} f_p(x)$, elle converge aussi pour tout n>0 ?
En général, quand on a du mal à écrire correctement un énoncé, c'est qu'on n'a que des connaissances vagues du sujet, qu'il faut retravailler les bases.
Une fois ce travail d'apprentissage fait, tu verras que c'est assez facile, si tu connais quelques propriétés élémentaires du sinus.
Bon travail !
Tout d’abord merci pour ton intervention.
L’affirmation initiale est tirée du manuel que j’utilise pour l’apprétissage des séries de fonctions comme étant un exemple sans démonstration d’une série de fonctions convergentes.
Ce qui m’a intrigué, c’est le fait qu’on affirme que la série définie à l’énoncé « converge simplement » pour tout n>0 alors j’essai avec les éléments qui sont donnés de vérifier cette affirmation mais te lire j’ai l’impression que tu insinues que cette affirmation est fausse.
Cordialement
Mais donc la série $\sum\limits_{n>0} \frac{x\sin(nx)}{n^2}$ est effectivement simplement convergente : Pour tout x réel $|\frac{x\sin(nx)}{n^2}|\le \frac {|x|}{n^2}$ et $\sum\limits_{n>0} \frac{|x|}{n^2}$ converge.
Pour avoir une convergence normale, il faut majorer $|\frac{x\sin(nx)}{n^2}|$ par un terme indépendant de x, ce qui est possible si on borne les valeurs de x (ce qui est dit), pas sur $\mathbb R$.
Mais tout ça est normalement expliqué dans ton bouquin à la suite de l'affirmation, non ? Car un "exemple" mathématique sans justification, ce n'est pas un exemple, mais un exercice !!
Cependant, comme il s'agit simplement d'appliquer les règles que tu as apprises sur la convergence des séries simples, il te suffisait de mettre en oeuvre les définitions de la convergence simple et de la convergence normale pour trouver tout seul.
Bon travail !
Bien cordialement