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Une primitive

totemtotem
dans Analyse
Bonjour, je cherche la primitive de : $$

f(x) = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}.

$$ Merci. (Très utilisée en physique).

Edit: personne n'a relevé ? LA primitive au lieu de UNE primitive ??::o(:D

Réponses

  • AmathouéAmathoué
    Un petit changement de variables hyperbolique devrait te donner une primitive sur $\mathbb{R}$.
  • Math CossMath Coss
    La méthode systématique conduit à poser $u=\sinh x$, de sorte que $\cosh u=\sqrt{1+x^2}$.

    Edit : ou l'inverse : $x=\sinh u$.
  • totemtotem
    @mathcoss: ok mais ce ne serait pas plutôt $x=\sinh(u)$ ?
  • AmathouéAmathoué
    Si.
  • totemtotem
    Ah !
    Ah ben oui ça marche drôlement bien je trouve $F(x) =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
  • JFSJFS
    Bonjour,

    + constante
  • totemtotem
    Et oui du coup ! :-)
  • jean lismondejean lismonde
    bonjour

    le changement de variable d'intégration peut se faire avec tangente tout simplement :

    posons x = tan(u) d'où $dx = \frac{du}{cos^2u}$ et donc :

    $\int\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}} = \int\frac{cos^3udu}{cos^2u}$

    soit $\int cos(u)du$ dont une primitive sera sin(u) + k

    soit encore $F(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 +1}} + k$

    cordialement
  • YvesMYvesM
    Bonjour,

    N’oublies-tu pas une valeur absolue : $\displaystyle (\cos^2 u)^{3/2}=|\cos u|^3$ ? Et quelle est une primitive de $\displaystyle u\mapsto |\cos u|$ ?
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