Champ de vecteur conservatif
Bonsoir
Je ne sais vraiment pas comment répondre à cette question ... bon.
Montrer que F=(P,Q) (champ gradient ) est conservative si et seulement si dP/dy = dQ/dx.
J’ai pensé à dire comme quoi F est conservtif —> F=gradA —> rotF=0
Donc rotF = (dP/dy- dQ/dx )* uz=0 —> dP/dy = dQ/dx
Je ne sais pas si c'est juste ... sinon je peux avoir la réponse correcte ?
Merci.
[Merci d'écrire les mots en entier. AD]
Je ne sais vraiment pas comment répondre à cette question ... bon.
Montrer que F=(P,Q) (champ gradient ) est conservative si et seulement si dP/dy = dQ/dx.
J’ai pensé à dire comme quoi F est conservtif —> F=gradA —> rotF=0
Donc rotF = (dP/dy- dQ/dx )* uz=0 —> dP/dy = dQ/dx
Je ne sais pas si c'est juste ... sinon je peux avoir la réponse correcte ?
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Réponses
Avant de parler de rotationnel ou n'importe quel outil spécialisé qui ne s'applique pas nécessairement, rappelle-toi de la base: le théorème de Schwartz, qui te donne immédiatement l'implication: conservatif -> égalité sur les dérivées partielles. Pour la réciproque, il faut faire attention à la topologie, par exemple ça ne fonctionne généralement pas sur une sphère. Je ne suis pas certain de mon coup (parce que ça date de la prépa), mais il y a sûrement moyen dans $\mathbb{R}^2$, de tenter une stratégie du genre : je définis une fonction par des intégrales sur des chemins de référence et depuis un point de référence (c'est une étape qui semble évidente), puis je me débrouille avec des genres de théorème de dérivation sous le signe intégrale (je ne sais pas si c'est exactement ça, c'est peut-être un poil plus tricky, mais c'est le genre), pour montrer que j'ai bien défini un truc différentiable et qui colle pile-poil à ce qu'on voulait.
Je suis très étonné de constater que ça date du dix-neuvième siècle. C'est pour un formalisme moderne? Vu certains développements qui ont été fait aux dix-huitième et même au dix-septième siècle, je pensais que cette propriété était identifiée sous une forme ou une autre depuis beaucoup plus longtemps que ça.