Objet mathématique nouveau ?
Bonjour je suis en Terminale S, je voudrais vous décrire un objet mathématique inspiré de l'application. Je voudrais d'une part que vous m'enrichissiez sur le sujet et d'autre part que vous corrigiez mes erreurs de notation.
Définition :
$\displaystyle A,E,F,G$ sont des ensembles. Soit $f$ l'application : $\displaystyle f:A\rightarrow E,\ x\mapsto f( x)$.
$\displaystyle h\ est\ le\ triplet\ ( E,F,G) \ avec\ G\subset E\times F,\ tel\ que\ \forall \ f( x) \in E,\exists !\ y_{1} ,y_{2} \in F,( f( x) ,y_{1}) \ et\ ( f( x) ,y_{2}) \ \in G.$
En francais je veux dire : $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
Pour\ tout\ image\ de\ x\ par\ f\ noté\ f( x) \ et\ appartenant\ à\ l'ensemble\ E,\ il\ existe\ exactement\ deux\ nombres\\
y_{1} \ et\ y_{2} \ appartenant\ à\ l’ensemble\ F\ tels\ que\ les\ couples\ ( f( x) ,y_{1}) \ et\ ( f( x) ,y_{2}) \ soient\ des\ éléments\ de\ \\
l'ensemble\ G.
\end{array}$
On note $\displaystyle h:E\rightarrow F^{2} ,f( x) \mapsto h( f( x))$.
L'objet $h$ peut alors s'exprimer comme la composition d'exactement deux fonctions bijectives qui ont pour ensemble de départ $E$.
Tentative de Généralisation :
$\displaystyle A,E,F,G$ sont des ensembles. Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $f$ l'application du $n$ème degré: $\displaystyle f:A\rightarrow E,\ x\mapsto f( x)$.
$\displaystyle h\ est\ le\ triplet\ ( E,F,G) \ avec\ G\subset E\times F,\ tel\ que\ \forall \ f( x) \in E,\exists !\ y_{1} ,...,y_{n} \in F,( f( x) ,y_{1}) ,...,\ ( f( x) ,y_{n}) \ \in G.$
En francais je veux dire : $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
Pour\ tout\ image\ de\ x\ par\ f\ noté\ f( x) \ et\ appartenant\ à\ l'ensemble\ E,\ il\ existe\ exactement\ n\ nombres\\
y_{1} ,...,\ y_{n} \ appartenant\ à\ l'ensembe\ F\ tels\ que\ les\ couples\ ( f( x) ,y_{1}) ,...,\ ( f( x) ,y_{n}) \ soient\ des\ élements\ de\ \\
l'ensemble\ G.
\end{array}$
On note $\displaystyle h:E\rightarrow F^{n} ,f( x) \mapsto h( f( x))$ .
L'objet $h$ peut alors s'exprimer comme la composition d'exactement $n$ fonctions bijectives qui ont pour ensemble de départ $E$.
Voici un exemple qui j'espère illustrera mon objet
Exemple :
On va prendre $\displaystyle f( x) =\frac{x^{2} +1}{x}$ ; $\displaystyle h( f( x)) =x^{3} +1$.
On a : $\displaystyle h:E\rightarrow F^{2} ,\frac{x^{2} +1}{x} \mapsto x^{3} +1$
Déterminons l'ensemble $A$ et l'ensemble $E$ pour que l'application $\displaystyle f:A\rightarrow E,\ x\mapsto \frac{x^{2} +1}{x}$ ait exactement 2 antécédents. $E$ est alors l'ensemble des $c$ qui vérifie $\displaystyle \forall \ x\in A,\ \frac{x^{2} +1}{x} =c\Leftrightarrow x^{2} -cx+1=0\ avec\ \Delta =c^{2} -4 >0\ $
On a donc $\displaystyle E=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [$ et $\displaystyle A=\mathbb{R}^{\star }$.
Enfin, puisque l'application $\displaystyle g:A\rightarrow F,x\mapsto x^{3} +1$ est bijective, l'objet $h$ existe.
Calculons $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right)$.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\forall x\in \mathbb{R}^{\star } ,\frac{x^{2} +1}{x} =\frac{\pi ^{2} +1}{\pi } \Leftrightarrow \frac{\pi \left( x^{2} +1\right) -x\left( \pi ^{2} +1\right)}{x\pi } =0\ \Leftrightarrow \pi x^{2} +\pi -x\pi ^{2} -x=0\ \\
\Leftrightarrow \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi =0
\end{array}$
$\displaystyle \pi $ est solution évidente. Lorsque l'on fait la division euclidienne de $\displaystyle \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi $ par $\displaystyle x-\pi $ on trouve $\displaystyle \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi =( x-\pi )( \pi x-1)$.
$\displaystyle \frac{x^{2} +1}{x} =\frac{\pi ^{2} +1}{\pi } \Leftrightarrow x=\pi \ ou\ x=\frac{1}{\pi }$.
On a alors : $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right) =\left( \pi ^{3} +1;\ \pi ^{-3} +1\right)$.
On obtient le graphe de $h$ ou encore l'ensemble $G$ si l'on trace le graphe des fonctions bijectives composées suivantes :
$\displaystyle i:E\rightarrow A\rightarrow I,\ c\mapsto x_{1} \mapsto ( x_{1})^{3} +1$
$\displaystyle j:E\rightarrow A\rightarrow J,c\mapsto x_{2} \mapsto ( x_{2})^{3} +1$
$\displaystyle x_{1} =\frac{c-\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} et\ x_{2} =\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2}$ et $\displaystyle E=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [ \ ;\ A=\mathbb{R}^{\star } $ ;$\displaystyle F=I\cup J$.
Concrètement :
$\displaystyle i:E\rightarrow I,\ c\mapsto \left(\frac{c-\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$
$\displaystyle j:E\rightarrow J,c\mapsto \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$
Pour déterminer $I$ et $J$ on va dériver $i$ et $j$.
$\displaystyle j'( c) =3\times \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{2} \times \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{'}$
$\displaystyle j'( c) =3\times \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{2} \times \left(\frac{1}{2} +\frac{2c}{4\sqrt{c^{2} -4}}\right)$
$\displaystyle j'( c) =3\times \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{2} \times \left(\frac{2\sqrt{c^{2} -4} +2c}{4\sqrt{c^{2} -4}}\right)$
$\displaystyle j'( c)$ a le signe de $\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} +2c$.
$\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} +2c\geq 0\ \Leftrightarrow c\geq 2$ et $\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} +2c\leq 0\ \Leftrightarrow c\leq -2$ .
$j$ est par conséquent continue sur $E$ en étant strictement décroissante sur $\displaystyle ] -\infty ;-2[$ et strictement croissante sur $\displaystyle ] 2;+\infty [$
D'après le théorème des valeurs intermédiaires $\displaystyle J=] j( -2) ;\lim _{c\rightarrow -\infty } j( c)[ \cup ] j( 2) ;\lim _{c\rightarrow +\infty } j( c)[$.
$\displaystyle j( -2) =0$ et $\displaystyle j( 2) =2$.
$\displaystyle \lim _{c\rightarrow +\infty } c+\sqrt{c^{2} -4} =+\infty \ $ d'où $\displaystyle \lim _{c\rightarrow +\infty } j( c) =+\infty $ .
On pose :
$\displaystyle X=\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} =\frac{\left( c+\sqrt{c^{2} -4}\right)\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right) \ }{2\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right)} =\frac{c^{2} -\left( c^{2} -4\right)}{2\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right)} =\frac{4}{2\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right)}$.
$\displaystyle \lim _{c\rightarrow -\infty } 2\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right) =-\infty $ d'où par inverse $\displaystyle \lim _{c\rightarrow -\infty } X=0^{-}$.
On déduit : $\displaystyle \lim _{c\rightarrow -\infty } j( c) =\lim _{X\rightarrow 0} X^{3} +1=1$.
Finalement $\displaystyle J=] 0;1[ \cup ] 2;+\infty [$
En procédent de la meme manière on trouve :
$\displaystyle i'( c) =3\times \left(\frac{c-\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{2} \times \left(\frac{2\sqrt{c^{2} -4} -2c}{4\sqrt{c^{2} -4}}\right)$
$\displaystyle i'( c)$ a le signe de $\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} -2c$.
$\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} -2c\geq 0\ \Leftrightarrow c\leq -2$ et $\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} -2c\leq 0\ \Leftrightarrow c\geq 2$.
$i$ est continue sur $E$ en étant strictement croissante sur $\displaystyle ] -\infty ;-2[$ et strictement décroissante sur $\displaystyle ] 2;+\infty [$.
Or $\displaystyle i( -2) =0$ ; $\displaystyle i( 2) =2$ ; $\displaystyle \lim _{c\rightarrow -\infty } i( c) =-\infty $ ; et $\displaystyle \lim _{c\rightarrow +\infty } i( c) =1$.
Finalement $\displaystyle I=] -\infty ;0[ \cup ] 1;2[$.
L'ensemble d'arrivée $F$ de l'objet $h$ est alors :
$\displaystyle F=] -\infty ;0[ \cup ] 1;2[ \cup ] 0;1[ \cup ] 2;+\infty [ =\mathbb{R}^{\star } \backslash \{1;2\}$.
Vous pouvez consulter le graphe de $h$ à l'adresse suivante : Lien vers géogbra
On peut voir l’ensemble E situé sur l'axe des abscisses, l'ensemble F situé sur l'axe des ordonnées. Le tracé représente l'ensemble G.
Je vous remercie par avance de votre aide.
M.Poisson
PS: J'ai modifié ce post en tenant compte de vos remarques. J'espère que mon message est plus claire et plus sensé.
Définition :
$\displaystyle A,E,F,G$ sont des ensembles. Soit $f$ l'application : $\displaystyle f:A\rightarrow E,\ x\mapsto f( x)$.
$\displaystyle h\ est\ le\ triplet\ ( E,F,G) \ avec\ G\subset E\times F,\ tel\ que\ \forall \ f( x) \in E,\exists !\ y_{1} ,y_{2} \in F,( f( x) ,y_{1}) \ et\ ( f( x) ,y_{2}) \ \in G.$
En francais je veux dire : $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
Pour\ tout\ image\ de\ x\ par\ f\ noté\ f( x) \ et\ appartenant\ à\ l'ensemble\ E,\ il\ existe\ exactement\ deux\ nombres\\
y_{1} \ et\ y_{2} \ appartenant\ à\ l’ensemble\ F\ tels\ que\ les\ couples\ ( f( x) ,y_{1}) \ et\ ( f( x) ,y_{2}) \ soient\ des\ éléments\ de\ \\
l'ensemble\ G.
\end{array}$
On note $\displaystyle h:E\rightarrow F^{2} ,f( x) \mapsto h( f( x))$.
L'objet $h$ peut alors s'exprimer comme la composition d'exactement deux fonctions bijectives qui ont pour ensemble de départ $E$.
Tentative de Généralisation :
$\displaystyle A,E,F,G$ sont des ensembles. Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $f$ l'application du $n$ème degré: $\displaystyle f:A\rightarrow E,\ x\mapsto f( x)$.
$\displaystyle h\ est\ le\ triplet\ ( E,F,G) \ avec\ G\subset E\times F,\ tel\ que\ \forall \ f( x) \in E,\exists !\ y_{1} ,...,y_{n} \in F,( f( x) ,y_{1}) ,...,\ ( f( x) ,y_{n}) \ \in G.$
En francais je veux dire : $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
Pour\ tout\ image\ de\ x\ par\ f\ noté\ f( x) \ et\ appartenant\ à\ l'ensemble\ E,\ il\ existe\ exactement\ n\ nombres\\
y_{1} ,...,\ y_{n} \ appartenant\ à\ l'ensembe\ F\ tels\ que\ les\ couples\ ( f( x) ,y_{1}) ,...,\ ( f( x) ,y_{n}) \ soient\ des\ élements\ de\ \\
l'ensemble\ G.
\end{array}$
On note $\displaystyle h:E\rightarrow F^{n} ,f( x) \mapsto h( f( x))$ .
L'objet $h$ peut alors s'exprimer comme la composition d'exactement $n$ fonctions bijectives qui ont pour ensemble de départ $E$.
Voici un exemple qui j'espère illustrera mon objet
Exemple :
On va prendre $\displaystyle f( x) =\frac{x^{2} +1}{x}$ ; $\displaystyle h( f( x)) =x^{3} +1$.
On a : $\displaystyle h:E\rightarrow F^{2} ,\frac{x^{2} +1}{x} \mapsto x^{3} +1$
Déterminons l'ensemble $A$ et l'ensemble $E$ pour que l'application $\displaystyle f:A\rightarrow E,\ x\mapsto \frac{x^{2} +1}{x}$ ait exactement 2 antécédents. $E$ est alors l'ensemble des $c$ qui vérifie $\displaystyle \forall \ x\in A,\ \frac{x^{2} +1}{x} =c\Leftrightarrow x^{2} -cx+1=0\ avec\ \Delta =c^{2} -4 >0\ $
On a donc $\displaystyle E=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [$ et $\displaystyle A=\mathbb{R}^{\star }$.
Enfin, puisque l'application $\displaystyle g:A\rightarrow F,x\mapsto x^{3} +1$ est bijective, l'objet $h$ existe.
Calculons $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right)$.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\forall x\in \mathbb{R}^{\star } ,\frac{x^{2} +1}{x} =\frac{\pi ^{2} +1}{\pi } \Leftrightarrow \frac{\pi \left( x^{2} +1\right) -x\left( \pi ^{2} +1\right)}{x\pi } =0\ \Leftrightarrow \pi x^{2} +\pi -x\pi ^{2} -x=0\ \\
\Leftrightarrow \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi =0
\end{array}$
$\displaystyle \pi $ est solution évidente. Lorsque l'on fait la division euclidienne de $\displaystyle \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi $ par $\displaystyle x-\pi $ on trouve $\displaystyle \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi =( x-\pi )( \pi x-1)$.
$\displaystyle \frac{x^{2} +1}{x} =\frac{\pi ^{2} +1}{\pi } \Leftrightarrow x=\pi \ ou\ x=\frac{1}{\pi }$.
On a alors : $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right) =\left( \pi ^{3} +1;\ \pi ^{-3} +1\right)$.
On obtient le graphe de $h$ ou encore l'ensemble $G$ si l'on trace le graphe des fonctions bijectives composées suivantes :
$\displaystyle i:E\rightarrow A\rightarrow I,\ c\mapsto x_{1} \mapsto ( x_{1})^{3} +1$
$\displaystyle j:E\rightarrow A\rightarrow J,c\mapsto x_{2} \mapsto ( x_{2})^{3} +1$
$\displaystyle x_{1} =\frac{c-\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} et\ x_{2} =\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2}$ et $\displaystyle E=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [ \ ;\ A=\mathbb{R}^{\star } $ ;$\displaystyle F=I\cup J$.
Concrètement :
$\displaystyle i:E\rightarrow I,\ c\mapsto \left(\frac{c-\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$
$\displaystyle j:E\rightarrow J,c\mapsto \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$
Pour déterminer $I$ et $J$ on va dériver $i$ et $j$.
$\displaystyle j'( c) =3\times \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{2} \times \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{'}$
$\displaystyle j'( c) =3\times \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{2} \times \left(\frac{1}{2} +\frac{2c}{4\sqrt{c^{2} -4}}\right)$
$\displaystyle j'( c) =3\times \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{2} \times \left(\frac{2\sqrt{c^{2} -4} +2c}{4\sqrt{c^{2} -4}}\right)$
$\displaystyle j'( c)$ a le signe de $\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} +2c$.
$\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} +2c\geq 0\ \Leftrightarrow c\geq 2$ et $\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} +2c\leq 0\ \Leftrightarrow c\leq -2$ .
$j$ est par conséquent continue sur $E$ en étant strictement décroissante sur $\displaystyle ] -\infty ;-2[$ et strictement croissante sur $\displaystyle ] 2;+\infty [$
D'après le théorème des valeurs intermédiaires $\displaystyle J=] j( -2) ;\lim _{c\rightarrow -\infty } j( c)[ \cup ] j( 2) ;\lim _{c\rightarrow +\infty } j( c)[$.
$\displaystyle j( -2) =0$ et $\displaystyle j( 2) =2$.
$\displaystyle \lim _{c\rightarrow +\infty } c+\sqrt{c^{2} -4} =+\infty \ $ d'où $\displaystyle \lim _{c\rightarrow +\infty } j( c) =+\infty $ .
On pose :
$\displaystyle X=\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} =\frac{\left( c+\sqrt{c^{2} -4}\right)\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right) \ }{2\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right)} =\frac{c^{2} -\left( c^{2} -4\right)}{2\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right)} =\frac{4}{2\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right)}$.
$\displaystyle \lim _{c\rightarrow -\infty } 2\left( c-\sqrt{c^{2} -4}\right) =-\infty $ d'où par inverse $\displaystyle \lim _{c\rightarrow -\infty } X=0^{-}$.
On déduit : $\displaystyle \lim _{c\rightarrow -\infty } j( c) =\lim _{X\rightarrow 0} X^{3} +1=1$.
Finalement $\displaystyle J=] 0;1[ \cup ] 2;+\infty [$
En procédent de la meme manière on trouve :
$\displaystyle i'( c) =3\times \left(\frac{c-\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{2} \times \left(\frac{2\sqrt{c^{2} -4} -2c}{4\sqrt{c^{2} -4}}\right)$
$\displaystyle i'( c)$ a le signe de $\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} -2c$.
$\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} -2c\geq 0\ \Leftrightarrow c\leq -2$ et $\displaystyle 2\sqrt{c^{2} -4} -2c\leq 0\ \Leftrightarrow c\geq 2$.
$i$ est continue sur $E$ en étant strictement croissante sur $\displaystyle ] -\infty ;-2[$ et strictement décroissante sur $\displaystyle ] 2;+\infty [$.
Or $\displaystyle i( -2) =0$ ; $\displaystyle i( 2) =2$ ; $\displaystyle \lim _{c\rightarrow -\infty } i( c) =-\infty $ ; et $\displaystyle \lim _{c\rightarrow +\infty } i( c) =1$.
Finalement $\displaystyle I=] -\infty ;0[ \cup ] 1;2[$.
L'ensemble d'arrivée $F$ de l'objet $h$ est alors :
$\displaystyle F=] -\infty ;0[ \cup ] 1;2[ \cup ] 0;1[ \cup ] 2;+\infty [ =\mathbb{R}^{\star } \backslash \{1;2\}$.
Vous pouvez consulter le graphe de $h$ à l'adresse suivante : Lien vers géogbra
On peut voir l’ensemble E situé sur l'axe des abscisses, l'ensemble F situé sur l'axe des ordonnées. Le tracé représente l'ensemble G.
Je vous remercie par avance de votre aide.
M.Poisson
PS: J'ai modifié ce post en tenant compte de vos remarques. J'espère que mon message est plus claire et plus sensé.
Réponses
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Salut,
Ce n'est pas ultra-clean mais y'a une idée je trouve ! Dans la définition, je n'ai pas compris ce que représente $f$ ?
Questions :
1/ Pour le calcul de $h(2)$, est-ce que tu prends $(-2,0)$ ou bien $(0,-2)$ ?
2/ Est-ce que l'on peut directement se placer dans $\mathbb{C}$ ou lieu de $\mathbb{R}$ ? ça va être plus simple pour avoir d'autres exemples, je pense $z \to z^3$ sur $\mathbb{C}^\star$, te donnera un exemple pour ta généralisation $n =3$, est-ce que tu peux regarder cet exemple ?
3/ Tu as pris $x^2+1$ pour être certain d'éviter d'avoir le diabolique point $0$ : le seul nombre réel $x$ qui vérifie $x=-x$, c'est bien ça ?
4/ As-tu vraiment utilisé le discriminant et les formules $x_1,x_2$ pour résoudre $x^2+1 = c$ ?
5/ Est-ce que tu peux résoudre $z^2= 3+4i$ où l'inconnue $z$ appartient à $\mathbb{C}$ ? -
Bonjour Monsieur Goleon,
0) Dans la définition f est une fonction. En fait l'objet mathématique h associe à l'image d'une autre fonction 2 nombres. Dans l'exemple du premier poste $\displaystyle f( x) =x^{2} +1$ et $\displaystyle h( f( x)) =x^{3} -1$ .
De plus l'application : $\displaystyle g:E\rightarrow F,\ x\mapsto x^{3} -1$ devait etre bijective. Dans ma définition j'utilise la lettre $h$ pour parler en fait d'une fonction $g$. Et je ne sais pas comment exprimer la relation qui relie $h$ à $g$.
1) Je considère que l'ordre des éléments du couple n'a pas d'importance, $h(2)=(-2,0)=(0,-2)$. Il s'agit des mêmes couples.
2)Oui, je pense qu'on peut se placer dans n'importe quelle partie de $\displaystyle \mathbb{C}$ tant que cet ensemble respecte les contraintes fixées. Je vous avouerais que je n'ai pas encore étudié les nombres complexes au lycée. Tout ce qui ensemble, algèbre ... et les notations qui vont avec ne sont mêmes pas au programme, tout cela reste donc flou pour moi. Quoiqu'il en soit après réflexion, il ne me semble pas qu'élargir mon objet mathématique au nombres complexes permette de trouver des généralisations pour des $n$ plus grand que 2. En effet il suffit de prendre des polynômes de degré supérieurs. Pour $n=3$, prendre un polynôme de degré 3 ou plus est indispensable quelque soit l'ensemble avec lequel on travail. Enfin pour des généralisation plus grand que $n=3$ , ce sera compliqué car il n'existe pas de méthodes automatiques (ou du moins elles sont trop compliquées) pour étudier des polynômes d'un degré supérieur à 3.
J'ai tout de même fait un exemple avec $n=3$ et les nombres complexes.
Exemple
$\displaystyle h:\mathbb{C}^{\star } \rightarrow \mathbb{C}^{3} ,z^{3} \mapsto z+1 \ $
$\displaystyle h\left( z^{3}\right) =z+1$
Je ne sais pas comment le prouver mais je suppose que $\displaystyle z^{3} =c$ a exactement 3 solutions différentes pour tout $\displaystyle c\in \mathbb{C}^{\star } \backslash \{-1;1\}$.
On suppose aussi que la fonction $\displaystyle h:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} ,z \mapsto z+1$ est bijective.
Calculons $h(27)$
$\displaystyle z^{3} =27\ \Leftrightarrow z^{3} -3^{3} =0\Leftrightarrow ( z-3)\left( z^{2} +3z+3^{2}\right) =0\ \Leftrightarrow z=3\ ou\ z^{2} +3z+9=0\ $
$\displaystyle \Delta =3^{2} -4\times 9=-27\ \ \ \sqrt{\Delta } =i\sqrt{27} =3i\sqrt{3}$
$\displaystyle z_{1} =\frac{-3-3i\sqrt{3}}{2} =\frac{-3}{2}\left( 1+i\sqrt{3}\right)$ et $\displaystyle z_{2} =\frac{-3+3i\sqrt{3}}{2} =\frac{-3}{2}\left( 1-i\sqrt{3}\right)$
On a donc $\displaystyle z^{3} =27\ \Leftrightarrow z=3\ ou\ z=\frac{-3}{2}\left( 1+i\sqrt{3}\right) \ ou\ z=\frac{-3}{2}\left( 1-i\sqrt{3}\right)$
$\displaystyle h\left( 3^{3}\right) =3+1\ et\ h\left(\left(\frac{-3}{2}\left( 1+i\sqrt{3}\right)\right)^{3}\right) =\frac{-3}{2}\left( 1+i\sqrt{3}\right) +1\ \ et\ \left(\left(\frac{-3}{2}\left( 1-i\sqrt{3}\right)\right)^{3}\right) =\frac{-3}{2}\left( 1-i\sqrt{3}\right) +1\ $
On a donc $\displaystyle h( 27) =\left( 4;\frac{-1}{2} +\frac{-3}{2} i\sqrt{3} \ ;\frac{-1}{2} +\frac{3}{2} i\sqrt{3}\right)$
Pour tracer le graphe de $h$ il suffit de tracer le graphe de 3 fonctions composées $\displaystyle i,j,k$
On appelle $\displaystyle z_{1} ,z_{2} ,z_{3}$ les solutions de l'équation $\displaystyle z^{3} =c$ .
$\displaystyle i:\mathbb{C}^{\star } \backslash \{-1;1\} \rightarrow \mathbb{C} ,c\mapsto z_{1} \mapsto z_{1} +1\ $
$\displaystyle j:\mathbb{C}^{\star } \backslash \{-1;1\} \rightarrow \mathbb{C} ,c\mapsto z_{2} \mapsto z_{2} +1\ $
$\displaystyle k:\mathbb{C}^{\star } \backslash \{-1;1\} \rightarrow \mathbb{C} ,c\mapsto z_{3} \mapsto z_{3} +1\ $
$\displaystyle z_{1} =\sqrt[3]{c}$ et $\displaystyle z_{2} =?$ et $\displaystyle z_{3} =?$
Sans connaitre les expressions de $z_2 et z_3$ je ne peut pas tracer h dans géohbra 3D.:-(
3) Ca marche aussi pour $x^2$ . L'ensemble de départ $A$ dans l'exemple de mon premier post sera juste différent.
Pour que $x^2=c$ ait exactement deux solutions il faut que $c>0$, c'est à dire que $\displaystyle A=[ 1;+\infty [$ au lieu de $\displaystyle A=] 1;+\infty [$.
4) Oui j'ai utilisé les formules du second degré. Pourquoi ? Y-a-t-il une erreur ?
5) $\displaystyle z^{2} =3+4i\ \Leftrightarrow z=-\sqrt{3+4i} \ ou\ z=\sqrt{3+4i}$ -
1) Ton "objet" est clairement mal défini, en particulier parce que tes phrases pour le décrire, que ce soit en toutes lettres ou bien mathématiquement, n'ont pas de sens.
2) D'après la description que tu en donnes au départ, je ne vois pas trop la différence avec une fonction de $E$ dans $F^2$. -
Bonjour Monsieur Bisam,
J’apprécie votre franchise. Pouvez vous m'indiquer quelles sont les contres sens dans ma définition. En effet il m’intéresse de savoir s'il s'agit d'un contre sens profond ou juste d'une erreur de notation ou de français due à mon manque de connaissance.
Je vous remercie par avance.
M.Poisson -
Bonjour M. Poisson.
Bisam ne parle pas de contre-sens, mais d'absence de sens.
Je prends ta première phrase :
"L'objet mathématique h est l'objet qui à un nombre lui associe exactement deux nombres. " ?? Qui est h ? Quant à un objet mathématique qui à un nombre associe exactement deux nombres ça existe depuis des siècles, c'est une bête fonction (voir le 2 de Bisam). Les ensembles d'arrivée des fonctions sont n'importe quoi.
Passons à la deuxième :
" $h$ est le triplet $( E,F,G)$ avec $G$ inclus dans le produit cartésien $E\times F$, et qui vérifie pour tout $x$, $f( x) \in E$, tel qu'il existe exactement deux $y\in F$, tels que ..." J'arrête là, c'est déjà incompréhensible.
Tu n'as pas défini E, F et G, bon, en étant gentil, on comprend qu'il s'agit d'ensembles, mais ensuite que veut dire "vérifier $f(x)$ tel que.." On vérifie une propriété pas une expression !
Et ensuite il y a encore 4 lignes dont on ne connait pas le statut.
Donc absence de sens parce que :
* tu ne dis rien de ce que tu veux faire
* tu ne définis pas les lettres que tu utilises.
Plus gênant : Tu donnes un "exemple" qui n'exemplifie rien ! Il n'y a plus de $( E,F,G)$ et tu définis h comme une simple application (*), mal définie (connaissant la valeur de $x^2+1$, on n'a aucun moyen de savoir combien vaut $x^3-1$. Où est passé le triplet ? et qui était ce $f(x)$ qui apparaissait dans la définition ?
Donc effectivement, tu manques sans doute de connaissances, mais surtout, tu as écrit du charabia imitant des définitions mathématiques. Tu as peut-être une idée (des milliers de personnes chaque année ont des idées, 99% de ces idées ne servent à rien), mais tu n'as pas vraiment essayé de l'éclaircir pour toi. Tu t'es empressé d'écrire, sans avoir cerné cette idée, avoir simplifié tout ce qui l'obscurcit, ne sert à rien.
Il ne reste que ta première phrase, qui n'apporte rien de neuf.
Cordialement.
(*) c'est ce que tu as écrit -
Bonsoir,
Pour 0. ce n'est pas clair mais ce n'est pas grave, je trouve que c'est bien d'essayé de dire quelque chose. Si tu arrives a formaliser complétement ce que tu veux dire, ça te permettra de t'améliorer : fais le POUR TOI pour t'amuser tu ne risque strictement rien !
Désolé pour les nombres complexes, je pensais que c'était un chapitre du début d'année de TS, donc juste quelques remarques et ensuite un autre petit exemple !
1. Peut-être qu'il faut considérer l'ensemble à deux éléments $\{-2,0\}$ ?
2. Merci pour le calcul. Je suis ok pour la résolution des équations, mais peut-être que l'on ne cherche pas à résoudre les équations mais à étudier les liens existant entre les solutions ? Par exemple, pour l'équation $x^2+1 = c$ où l'inconnu est $x$ et bien lorsque j'ai une solution $x_0$ l'autre est simplement $-x_0$ tu vois elles ont un lien complétement indépendant de $c$.
Concernant ton calcul. Tu t'es placé dans un cas où tu avais une solution $3$, puisque $3^3 = 27$ et ensuite tu as récupérer les autres solutions en factorisant. En ce que tu peux pousser cette idée un peu plus : pour être certain d'avoir une solution c'est facile je prends $z_0 \in \mathbb{C}^\star$ et je dit que l'on va prendre $c = z_0^3$ : donc résoudre $z^3 = z_0^3$ et donc $z_0$est solution et les autres ?
D'ailleurs tu dis que l'équation $z^3=c$ à trois solutions pour $c \in \mathbb{C}^\star \setminus \{1,-1\}$, peux-tu m'expliquer pourquoi as-tu retiré $\{1,-1\}$, est-ce que tu penses que l'équation $z^3=1$ n'a pas trois solutions dans $\mathbb{C}$ ?
3. Est-ce que tu veux dire $A = ]0;+\infty[$ ?
4. Hum non non pas d'erreur !
5. Oublions, pardon je pensais vraiment que tu avais déjà vu en classe les nombres complexes.
6. Est-ce que si je te donne $x \mapsto \frac{x^2+1}{x}$ à la place de $z\mapsto z^3$ et $x\mapsto x^2+1$, est-ce qu'il y a un rapport avec ce que tu veux dire ? Est-ce que tu peux nous faire un exemple avec $c = \frac{\pi^2+1}{\pi}$ par exemple ?
Ah dernier petit truc, si quelqu'un me demande de résoudre $x^2=2$, je ne vais pas calculer $\Delta$ etc pour finir par lui dire que les solutions sont $x_1 = \sqrt{2}$ et $x_2 = - \sqrt{2}$ !
Ps / Vu que tu as dit que tu utilises geogebra ! Je me permet de te poser une question : j'utilise la version en ligne et je ne suis pas doué !!! Par exemple, quand je veux tracer la courbe d'équation $ x^2 - \frac{(y^2-y+1)^3}{y^2(y-1)^2} = 0$ et bien je tape sur le symbole "^" de mon clavier ça ne m'écrit pas la puissance ? Ca m'énerve beaucoup je suis obligé d'écrire "x*x" !!! Tu arrives a tracer cette courbe en entrant l'équation toi ? Tu comprends mon problème, est-ce que tu as une solution ? -
Je peux poser une question? Cela sert à quoi cet "objet mathématique nouveau"? Ne me raccompagnez pas, je connais la sortie. B-)-
-
Bonne nuit,
Comme à peu près partout, quand tu tapes $x$$^$$2$ pour avoir $x^2$, tu n'as le $^$ qu'après avoir tapé le $2$.Goléon a écrit:et bien je tape sur le symbole "^" de mon clavier ça ne m'écrit pas la puissance ? Ca m'énerve beaucoup je suis obligé d'écrire "x*x" !!! Tu arrives a tracer cette courbe en entrant l'équation toi ? Tu comprends mon problème, est-ce que tu as une solution ?
Cordialement,
Rescassol -
Merci, mais vraiment ça ne fonctionne pas chez moi ! Quand je fais "x^2" ça m'affiche "xa" ? C'est vraiment étrange, je n'y comprends rien et c'est assez énervant et quand même assez étrange ! Peut-être que c'est la version en ligne ? Je vais essayer d'installer la version en dur sur l'ordi.
-
Bonne nuit,
Tu parles de la version de quoi ? Et tu es sur quel OS ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Je retente une définition. J'espère que cette fois-ci, elle aura du sens.
Définition :
$\displaystyle A,E,F,G$ sont des ensembles. Soit $f$ l'application : $\displaystyle f:A\rightarrow E,\ x\mapsto f( x)$.
$\displaystyle h\ est\ le\ triplet\ ( E,F,G) \ avec\ G\subset E\times F,\ tel\ que\ \forall \ f( x) \in E,\exists !\ y_{1} ,y_{2} \in F,( f( x) ,y_{1}) \ et\ ( f( x) ,y_{2}) \ \in G.$
En francais je veux dire : $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
Pour\ tout\ image\ de\ x\ par\ f\ noté\ f( x) \ et\ appartenant\ à\ l'ensemble\ E,\ il\ existe\ exactement\ deux\ nombres\\
y_{1} \ et\ y_{2} \ appartenant\ à\ l’ensemble\ F\ tels\ que\ les\ couples\ ( f( x) ,y_{1}) \ et\ ( f( x) ,y_{2}) \ soient\ des\ éléments\ de\ \\
l'ensemble\ G.
\end{array}$
On note $\displaystyle h:E\rightarrow F^{2} ,f( x) \mapsto h( f( x))$ .L'objet h est peut être une application ou du moins une application spéciale, tout compte fait cet objet n'a rien de spécial. :-P
Voici un exemple qui j'espère illustrera mieux mon objet que les précédents.
Exemple :
On va prendre $\displaystyle f( x) =\frac{x^{2} +1}{x}$ ; $\displaystyle h( f( x)) =x^{3} +1$ et $\displaystyle F=\mathbb{R}$.
On a : $\displaystyle h:E\rightarrow \mathbb{R}^{2} ,\frac{x^{2} +1}{x} \mapsto x^{3} +1$
Déterminons l'ensemble $A$ et $E$ pour que l'application $\displaystyle f:A\rightarrow E,\ x\mapsto \frac{x^{2} +1}{x}$ ait exactement 2 antécédents. $E$ est alors l'ensemble des $c$ qui vérifie $\displaystyle \forall \ x\in A,\ \frac{x^{2} +1}{x} =c\Leftrightarrow x^{2} -cx+1=0\ avec\ \Delta =c^{2} -4 >0\ $
On a donc $\displaystyle E=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [$ et $\displaystyle A=\mathbb{R}^{\star }$.
Enfin, puisque l'application $\displaystyle g:A\rightarrow F,x\mapsto x^{3} +1$ est bijective, l'objet $h$ existe.
Calculons $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\forall x\in \mathbb{R}^{\star } ,\frac{x^{2} +1}{x} =\frac{\pi ^{2} +1}{\pi } \Leftrightarrow \frac{\pi \left( x^{2} +1\right) -x\left( \pi ^{2} +1\right)}{x\pi } =0\ \Leftrightarrow \pi x^{2} +\pi -x\pi ^{2} -x=0\ \\
\Leftrightarrow \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi =0
\end{array}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Delta =\left( -\pi ^{2} -1\right)^{2} -4\pi ^{2} =\left( -\pi ^{2} -1-2\pi \right)\left( -\pi ^{2} -1+2\pi \right) =\pi ^{4} -2\pi ^{2} +1\\
\end{array}$
$\displaystyle \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi =0\ \Leftrightarrow x=\frac{\pi ^{2} +1-\sqrt{\pi ^{4} -2\pi ^{2} +1}}{2\pi } \ ou\ x=\frac{\pi ^{2} +1+\sqrt{\pi ^{4} -2\pi ^{2} +1}}{2\pi }$
On conclue : $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right) =\left(\left(\frac{\pi ^{2} +1-\sqrt{\pi ^{4} -2\pi ^{2} +1}}{2\pi }\right)^{3} +1;\left(\frac{\pi ^{2} +1+\sqrt{\pi ^{4} -2\pi ^{2} +1}}{2\pi }\right)^{3} +1\right)$
On obtient le graphe de $h$ ou encore l'ensemble $G$ si l'on trace le graphe des fonctions composées suivantes :
$\displaystyle i:E\rightarrow A\rightarrow F,\ c\mapsto x_{1} \mapsto ( x_{1})^{3} +1$
$\displaystyle j:E\rightarrow A\rightarrow F,c\mapsto x_{2} \mapsto ( x_{2})^{3} +1$
$\displaystyle x_{1} =\frac{c-\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} et\ x_{2} =\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2}$ et $\displaystyle E=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [ \ ;\ A=\mathbb{R}^{\star } ;\ F=\mathbb{R}$
Concrètement :
$\displaystyle i:E \rightarrow \mathbb{R} ,\ c\mapsto \left(\frac{c-\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$
$\displaystyle j:E \rightarrow \mathbb{R} ,c\mapsto \left(\frac{c+\sqrt{c^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$
Vous pouvez consulter le graphe de $h$ à l'adresse suivante : Lien vers géogbra
On peut voir l'ensmeble E situé sur l'axe des abscisses, l'ensemble F situé sur l'axe des ordonnées. Le tracé représente l'ensemble G. -
Juste une petite remarque, est-ce que tu peux simplifier tes calculs avec :
$$
\pi^4-2\pi^2+1 = (\pi^2-1)^2
$$
On verra après comment simplifier car c'est un peu lourd, tu n'es pas obligé d'utiliser $\Delta$ tout le temps surtout quand on voit une solution évidente !
Ps / Tu n'es pas obligé d'écrire les détails (c'est long en latex) juste les points importants sauf si ça te fait plaisir de tout écrire :-D -
Et ça sert à quoi ?
On peut de la même façon définir des millions "d'objets mathématiques nouveaux" qui ne servent à rien. Ici, il y a seulement déformation de l'idée de fonction (d'où la notation) sans aller jusqu'à celle de multifonction (*) et sans qu'une utilisation effective justifie cette usine à gaz.
(*) assez peu utile sauf dans des situations très particulières. -
M. Poisson :
J'ai fait un truc sur ton géogébra ! J'ai pris un point $A$ variable sur ta courbe rouge et j'ai crée un point $B = \left( x(A), \frac{y(A)}{y(A)-1} \right)$. Et bien lorsque tu déplaces le point $A$ sur la courbe rouge on dirait que le point $B$ varie sur la courbe verte ! C'est étrange non ? Est-ce que tu as une explication ?
geogebra ici il faut vraiment agrandir le graphique et ne pas trop bouger le point $A$ sinon le point $B$ sort du dessin ! (est-ce que le lien marche ?) -
Bonsoir Monsieur Goleon,
Votre lien fonctionne bien.
La courbe verte est la représentation graphique de la fonction $i$ définie sur $E$ par $\displaystyle i( x) =\left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$.
La courbe rouge est la représentation graphique de la fonction $j$ définie sur $E$ par $\displaystyle j( x) =\left(\frac{x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$.
Rappel : $\displaystyle E=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [$
Vous avez défini $A$ comme étant le point de coordonnées $\displaystyle ( x,j( x))$ et $B$ le point de coordonnées $\displaystyle \ \left( x;\frac{1}{j( x) -1} +1\right)$. $\displaystyle \frac{1}{j( x) -1} +1=\frac{j( x)}{j( x) -1}$
Calculons : $\displaystyle ( j( x) -1) \times i( x)$
$\displaystyle ( j( x) -1) \times i( x) =\left(\frac{x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} \times \left[\left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1\right]$
$\displaystyle =\frac{\left( x+\sqrt{x^{2} -4}\right)\left( x-\sqrt{x^{2} -4}\right)\left( x+\sqrt{x^{2} -4}\right)\left( x-\sqrt{x^{2} -4}\right)\left( x+\sqrt{x^{2} -4}\right)\left( x-\sqrt{x^{2} -4}\right)}{2^{3} \times 2^{3}} +\left(\frac{x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3}$
$\displaystyle =\frac{\left[ x^{2} -\left( x^{2} -4\right)\right]^{3}}{4^{3}} +\left(\frac{x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} =\left(\frac{x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +\frac{4^{3}}{4^{3}} =\left(\frac{x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1=j( x)$
On a donc $\displaystyle [ j( x) -1] \times i( x) =j( x) \Leftrightarrow \frac{j( x)}{j( x) -1} =i( x) \ ssi\ j( x) -1\neq 0\ $.
On conclue que le point $B$ a pour coordonnées $\displaystyle ( x,i( x))$ ; c'est pourquoi il appartient à la courbe verte. Ainsi quand on fait varier l'abscisse du point $A$ sur la courbe rouge, le point $B$ bouge sur la courbe verte. -
OK !
a. Tu as montré que $\frac{j(x)}{j(x)-1} = i(x)$ pour $x \in E$. Est-ce l'on peut échanger $i$ et $j$ dans la formule ?
b. Est-ce que tous les points verts s'obtiennent à partir des points rouges ? Est-ce que tu peux traduire ça avec des mots compliqués comme bijection et graphe ?
c. Est-ce que tu peux refaire le calcul de $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right)$ avec mon indication ici ! Et si tu peux refaire encore une fois mais sans utiliser la formule avec $\Delta$ ! Par exemple,
$$
x^2-x-2 = \pi^2-\pi-2
$$
Et bien $\pi$ est une solution évidente !!! Et le produit des deux solutions de l'équation est $\pi-\pi^2 $ ($\frac{c}{a}$ si l'équation est $ax^2+bx+c=0$). Donc l'autre solution est $1- \frac{1}{\pi}$ et hop pas de $\Delta$ … bien sûr il faut voir une solution évidente ! -
Bonjour Monsieur Goleon,
La courbe verte est la représentation graphique de la fonction $i$ définie sur $E$ par $\displaystyle i( x) =\left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$.
La courbe rouge est la représentation graphique de la fonction $j$ définie sur $E$ par $\displaystyle j( x) =\left(\frac{x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$.
On a le point de $A$ de coordonnées $\displaystyle ( x,i( x))$ et le point $B$ de coordonnées $\displaystyle \ \left( x;\frac{1}{i( x) -1} +1\right)$. Or $\displaystyle \frac{1}{i( x) -1} +1=\frac{i( x)}{i( x) -1}$.
Calculons $\displaystyle ( i( x) -1) \times j( x)$
$\displaystyle ( i( x) -1) \times j( x) =\left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} \times \left[\left(\frac{x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1\right]$
$\displaystyle =\frac{\left[ x^{2} -\left( x^{2} -4\right)\right]^{3}}{4^{3}} +\left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} =\left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +\frac{4^{3}}{4^{3}} =\left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1=i( x)$
On a donc $\displaystyle \forall x\in E\ [ i( x) -1] \times j( x) =i( x) \Leftrightarrow \frac{i( x)}{i( x) -1} =j( x) \ $.
On peut en effet intervertir $i$ et $j$ dans la formule.
b)
Tous les points de la courbe rouge peuvent s'obtenir à partir de la courbe verte et inversement. On peut alors donner une définition entre les applications $i$ et $j$.
$\displaystyle i:E\rightarrow F,\ x\mapsto \frac{j( x)}{j( x) -1}$
$\displaystyle j:E\rightarrow F,x\mapsto \frac{i( x)}{i( x) -1}$
Quelques conjectures :
Les deux applications ont le même ensemble de départ et le même ensemble d'arrivée. De plus chaque image par $i$ (valable aussi pour $j$) a exactement un antécédent. Les applications $i$ et $j$ seraient donc bijectives.
Enfin on remarque que la courbe verte et la courbe rouge sont symétriques par rapport à l'origine du repère. Il existerait donc une relation géométrique qui permet de passer d'un graphe de l'application $i$ à un graphe de l'application $j$. On peut le voir sur le lien suivant : ici . J'ai crée un point $\displaystyle C( x;i( x))$ et un point $\displaystyle D( -x,j( -x))$. On a l'impression que les vecteurs $\displaystyle \overrightarrow{OC} \ ( x;i( x))$ et $\displaystyle \overrightarrow{DO} \ ( x,-j( -x))$ sont égaux. Le point $O$ est l'origine du repère.
Vérifions :
$\displaystyle j( -x) =\left(\frac{-x+\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$
Or $\displaystyle -j( -x) =\left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} -1\neq \left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^{3} +1$
Donc $\displaystyle -j( -x) \neq i( x)$ . Il n'y a en faite pas de symétrie centrale, le dé-zoom m'a trompé :-(
Tout compte fait je ne sais pas quoi dire du graphe.
c)
Calculons $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right)$.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\forall x\in \mathbb{R}^{\star } ,\frac{x^{2} +1}{x} =\frac{\pi ^{2} +1}{\pi } \Leftrightarrow \frac{\pi \left( x^{2} +1\right) -x\left( \pi ^{2} +1\right)}{x\pi } =0\ \Leftrightarrow \pi x^{2} +\pi -x\pi ^{2} -x=0\ \\
\Leftrightarrow \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi =0
\end{array}$
$\displaystyle \pi $ est solution évidente. Lorsque l'on fait la division euclidienne de $\displaystyle \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi $ par $\displaystyle x-\pi $ on trouve $\displaystyle \pi x^{2} +\left( -\pi ^{2} -1\right) x+\pi =( x-\pi )( \pi x-1)$.
$\displaystyle \frac{x^{2} +1}{x} =\frac{\pi ^{2} +1}{\pi } \Leftrightarrow x=\pi \ ou\ x=\frac{1}{\pi }$.
On a alors : $\displaystyle h\left(\frac{\pi ^{2} +1}{\pi }\right) =\left( \pi ^{3} +1;\ \pi ^{-3} +1\right)$. -
Bonsoir M.Poisson,
$\bullet_1$ Donc tu as fait le même genre de calcul qu'hier pour montrer que pour tout $x \in E$, on a : $\frac{i( x)}{i( x) -1} =j( x)$. Je te propose un petit calcul alternatif ! Donc hier tu as prouvé que : pour tout $x \in E$, on a : $\frac{j( x)}{j( x) -1} =i( x)$, et bien $i(x) \times (j(x)-1) = j(x)$ et donc $i(x) j(x)-i(x) = j(x)$ et donc $-i(x) = j(x) (1-i(x))$ et donc $j(x) = \frac{i(x)}{i(x)-1}$.
$\bullet_2$ Pour le point $b$. Tu as affirmé que tous les points verts s'obtiennent à partir de la courbe rouge mais tu n'as pas proposé de démonstration ! Il y a un lien avec l'histoire juste au dessus !
Pour ta conjecture : c'est bien d'avoir vérifié par le calcul car c'est vrai que ça semble fonctionner !!! Que peut-on dire ? peut-être qu'il y a une symétrie centrale mais que le centre ce n'est pas l'origine mais le point $(0,1)$ ? (je n'ai pas vérifié)
$\bullet_3$ Ok pour le $C$, hum je te fais un petit calcul complémentaire quand même :
$$
(x-a)(x-b) = x^2-ax-bx+ab = x^2-(a+b)x+ab
$$
et un autre petit calcul histoire de bien voir :
$$
\frac{(\pi^3+1)}{(\pi^3+1)-1} = \frac{\pi^3+1}{\pi^3} = 1+\pi^{-3}
$$
$\bullet_4$ Ah j'ai oublié une question un peu vague : même si on ne comprend pas trop ton histoire de nouvelle fonction $h$, toi tu sais comment faire pour calculer avec. On a deux exemples, le premier avec $x \mapsto x^2+1$ (ce que tu as fait au début) et le second avec $x \mapsto \frac{x^2+1}{x}$, est-ce que tu peux essayer de les combiner ensemble ? Une sorte de composition ? peut-être que ça va donner un truc avec $n= 2 \times 2 = 4$ ? -
Bonjour Monsieur Goleon,
2)
On a démontré que $\displaystyle i:E\rightarrow F,\ x\mapsto \frac{j( x)}{j( x) -1}$.
Avec cette relation il est évident que tous les points de la courbe verte s'obtiennent à partir de la courbe rouge.
Soit les points : $\displaystyle C( x,i( x))$ ;$\displaystyle D( -x,j( -x))$ et $\displaystyle I( 0,1)$. On obtient les vecteurs suivants : $\displaystyle \overrightarrow{DI} \ ( x,1-j( -x))$ et $\displaystyle \overrightarrow{IC} \ ( x;i( x) -1)$. Montrons que : $\displaystyle \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{IC}$.
$\displaystyle i( x) -1= \left(\frac{x-\sqrt{x^{2} -4} \ }{2} \ \right)^ {3}$.
$ \displaystyle j( -x) = \left( \frac{-x+ \sqrt{x^ {2} -4} \ }{2} \ \right)^ {3} +1$ d'où $ \displaystyle -j( -x) = \left( \frac{x- \sqrt{x^ {2} -4} \ }{2} \ \right)^ {3} -1$.
On a alors : $ \displaystyle 1-j( -x) = \left( \frac{x- \sqrt{x^ {2} -4} \ }{2} \ \right) =i( x) -1$.
Donc $ \displaystyle \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{IC}$. La courbe verte est symétrique à la courbe rouge par rapport au point $\displaystyle I( 0,1)$.
4) Objet mathématique h composé
Soit $h_1$ l'objet mathématique suivant :
${\displaystyle h_{1} :A\mathbb{\rightarrow R}^{2} ,\ x^{2} +1\mapsto x^{3} -1}$
${\displaystyle h_{1} (x^{2} +1)=x^{3} -1}$
$A$ est l'ensemble des $c$ tels que ${\displaystyle x^{2} +1=c\ }$ avec ${\displaystyle c-1 >0\ }$ d'où $\ c >1$. L'ensemble des $x$ tel que ${\displaystyle x^{2} +1 >1}$ est ${\displaystyle x\in \mathbb{R}^{\star }}$. L'objet mathématique $h_1$ est alors défini pour ${\displaystyle A=\ ]1;+\infty [}$.
Le graphe de $h_1$ est la conjonction des graphes de deux fonctions $i_1$ et $j_1$. On appelle $x_1$ et $y_1$ les deux solutions de l'équation ${\displaystyle x^{2} +1=c}$. On a alors :
${\displaystyle i_{1} :A\mathbb{\rightarrow R} ,\ c\mapsto x_{1} \mapsto (x_{1} )^{3} -1}$ avec ${\displaystyle x_{1} =-\sqrt{c-1}}$
${\displaystyle j_{1} :A\mathbb{\rightarrow R} ,\ c\mapsto y_{1} \mapsto (y_{1} )^{3} -1}$ avec ${\displaystyle y_{1} =\sqrt{c-1}}$.
Finalement : $\displaystyle \forall \ c\in A,\ h_{1}( c) =\left(\left(-\sqrt{c-1}\right)^{3} -1\ ;\left(\sqrt{c-1}\right)^{3} -1\right) \ $.
Soit $h_2$ l'objet mathématique suivant :
$\displaystyle h_{2} :B\rightarrow \mathbb{R}^{2} ,\frac{x^{2} +1}{x} \mapsto x^{3} +1$
$B$ est l'ensemble des $d$ qui vérifie
$\displaystyle \forall \ x\in {\displaystyle \mathbb{R}^{\star }} ,\ \frac{x^{2} +1}{x} =d\Leftrightarrow x^{2} -dx+1=0\ avec\ \Delta =d^{2} -4 >0\ $.
L'objet mathématique $h_2$ est alors défini pour $\displaystyle B=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [$.
Le graphe de $h_2$ est la conjonction des graphes de deux fonctions $i_2$ et $j_2$. On appelle $x_2$ et $y_2$ les deux solutions de l'équation $\displaystyle \frac{x^{2} +1}{x} =d$. On a alors :
$\displaystyle i_{2} :B\rightarrow \mathbb{{\displaystyle R}} ,\ d\mapsto x_{2} \mapsto ( x_{2})^{3} +1$ avec $\displaystyle x_{2} =\frac{d-\sqrt{d^{2} -4} \ }{2}$.
$\displaystyle j_{2} :B\rightarrow \mathbb{{\displaystyle R}} ,d\mapsto y_{2} \mapsto ( y_{2})^{3} +1$ avec $\displaystyle y_{2} =\frac{d+\sqrt{d^{2} -4} \ }{2}$.
Finalement : $\displaystyle \forall \ d\in B,\ h_{2}( d) =\left(\left(\frac{d-\sqrt{d^{2} -4} \ }{2}\right)^{3} +1\ ;\left(\frac{d+\sqrt{d^{2} -4} \ }{2}\right)^{3} +1\right) \ $.
Soit $h$ la composée de $h_1$ par $h_2$, etudié ci-dessous :
$\displaystyle h:E\rightarrow F^{4} \ ,h_{1}( x) \mapsto h_{2}( h_{1}( x))$.
On peut alors définir $h$ par :
$\displaystyle h:A\rightarrow \mathbb{R}^{2} \rightarrow B^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \ ,c\mapsto h_{1}( c) \mapsto h_{2}( h_{1}( c))$.
Cependant il y a une incompatibilité des domaines.
En appliquant les expressions trouvées précédemment :
$\displaystyle h( c) =\begin{Bmatrix}
\left(\frac{\left(-\sqrt{c-1}\right)^{3} -1-\sqrt{\left(\left(-\sqrt{c-1}\right)^{3} -1\right)^{2} -4} \ }{2}\right)^{3} +1\\
\left(\frac{\left(\sqrt{c-1}\right)^{3} -1-\sqrt{\left(\left(\sqrt{c-1}\right)^{3} -1\right)^{2} -4} \ }{2}\right)^{3} +1\\
\left(\frac{\left(-\sqrt{c-1}\right)^{3} -1+\sqrt{\left(\left(-\sqrt{c-1}\right)^{3} -1\right)^{2} -4} \ }{2}\right)^{3} +1\\
\left(\frac{\left(\sqrt{c-1}\right)^{3} -1+\sqrt{\left(\left(\sqrt{c-1}\right)^{3} -1\right)^{2} -4} \ }{2}\right)^{3} +1
\end{Bmatrix}$
On constate alors que $\displaystyle c\in E=A\cap B=] 2;+\infty [$ et $\displaystyle F\subset \mathbb{R}$.
On conclue alors que $\displaystyle h:E\rightarrow F^{4} \ ,c\mapsto h( c)$ existe.
Calculons h(5) :
Pour $\displaystyle c=5$,$\displaystyle \left(-\sqrt{c-1}\right)^{3} -1=-7 \ et\ \left(\sqrt{c-1}\right)^{3} -1=5 \ \ $
Pour $\displaystyle d=-7,\frac{-7-\sqrt{( -7)^{2} -4} \ }{2} =\frac{-7-\sqrt{45} \ }{2} \ et\ \frac{-7+\sqrt{( -7)^{2} -4} \ }{2} =\frac{-7+\sqrt{45} \ }{2} \ \ $.
Ainsi $\displaystyle h_{2}( -7) =\left(\frac{-7-\sqrt{45} \ }{2} ;\frac{-7+\sqrt{45} \ }{2}\right)$.
Pour $\displaystyle d=5,\frac{5-\sqrt{5^{2} -4} \ }{2} =\frac{5-\sqrt{21} \ }{2} \ et\ \frac{5+\sqrt{5^{2} -4} \ }{2} =\frac{5+\sqrt{21} \ }{2} \ $.
Ainsi $\displaystyle h_{2}( 5) =\left(\frac{5-\sqrt{21} \ }{2} ;\frac{5+\sqrt{21} \ }{2}\right)$.
Finalement : $\displaystyle h( 5) =\begin{Bmatrix}
\frac{-7-\sqrt{45} \ }{2} & \frac{-7+\sqrt{45} \ }{2} & \frac{5-\sqrt{21} \ }{2} & \frac{5+\sqrt{21} \ }{2}
\end{Bmatrix}$.
J'ai tracé le graphe de $h$ au lien suivant: lien geogbra. A première vue on dirait que les courbes se superposent, mais lorsque l'on zoom suffisamment on s’aperçoit que pas du tout. Cependant elles semblent se rapprocher les unes des autres. Il serait intéressant de vérifier cette conjecture en étudiant la limite de la différence de leurs expressions quand $c$ tend vers $\displaystyle +\infty $.
PS: Je me suis rendu compte que dans tous mes exemples mes ensembles d'arrivée étaient faux. Je crois que je dois faire les tableaux de variations des différentes fonctions utilisés pour en déduire l'ensemble d'arrivée. -
Bonjour M.Poisson,
Ok pour le début !
Pour 4/ déjà félicitation d'avoir eu le courage de faire les calculs ! Le problème c'est que tes efforts ne sont pas récompensés, les formules ne sont pas très belles et le géogébra n'est pas très beau non plus, on ne voit pas grand chose ! Les calculs vont être monstrueux !
Ce que je te propose c'est de simplifier un peu les choses. D'abord un exemple simple et ensuite, tu verras ce que tu peux faire ! Dans ta construction il y a $4$ fonctions au départ ! $ x \mapsto x^2+1$, $x \mapsto x^3-1$ et ensuite $x \mapsto \frac{x^2+1}{x}$ et $x \mapsto x^3+1$.
Je te propose dans un premier temps de prendre $x \mapsto x^2+1$, $x \mapsto x$ et $x \mapsto \frac{x^2+1}{x}$ et $x \mapsto x$. On verra ensuite si on peux comprendre les choses avec $x^3+1$, en fait je ne comprends pas vraiment ce qu'apporte cette opération mais je pense que tu y tiens ? Ou peut-être prendre $x \mapsto x^2+1$, $x \mapsto x$ et $x \mapsto \frac{x^2+1}{x}$ et $x \mapsto x^3+1$.
De plus, tu as deux choix de composition, pour faciliter les histoires de domaines de définition je pense que c'est plus facile de commencer par $x \mapsto \frac{x^2+1}{x}$ ! -
Bonjour monsieur Goleon,
Entre la semaine du baccalauréat blanc et la grippe, je n'ai pas pu vous répondre plus tôt.
En ce moment on est en train d'étudié les nombres complexes en classe, on a vu l'écriture algébrique d'un complexe, équation du second degré dans $\mathbb{{\displaystyle C}}$, et la forme trigonométrique.
En fait je préfère utiliser une autre fonction bijective que ${\displaystyle \ x\mapsto x}$ parce que sinon mon objet h devient une simple fonction à l’exception près qu'on a intervertit l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Composition $h$
Soit $h_1$ l'objet mathématique suivant :
${\displaystyle h_{1} :A\mathbb{\rightarrow R}^{2} ,\ x^{2} +1\mapsto x}$
${\displaystyle h_{1} (x^{2} +1)=x}$
${\displaystyle A=\ ]1;+\infty [}$.
Le graphe de $h_1$ est la conjonction des graphes de deux fonctions bijectives $i_1$ et $j_1$. On appelle $x_1$ et $y_1$ les deux solutions de l'équation ${\displaystyle x^{2} +1=c}$. On a alors :
${\displaystyle i_{1} :A\mathbb{\rightarrow R} ,\ c\mapsto x_{1} \mapsto x_{1} }$ avec ${\displaystyle x_{1} =-\sqrt{c-1}}$
${\displaystyle j_{1} :A\mathbb{\rightarrow R} ,\ c\mapsto y_{1} \mapsto y_{1} }$ avec ${\displaystyle y_{1} =\sqrt{c-1}}$.
Finalement : $\displaystyle \forall \ c\in A,\ h_{1}( c) =\left(\left(-\sqrt{c-1}\right)^{3} -1\ ;\left(\sqrt{c-1}\right)^{3} -1\right) \ $.
Soit $h_2$ l'objet mathématique suivant :
$\displaystyle h_{2} :B\rightarrow \left(\mathbb{R}^{\star } \backslash \{1,2\}\right)^{2} ,\frac{x^{2} +1}{x} \mapsto x$
$\displaystyle B=] -\infty ;-2[ \cup ] 2;+\infty [$.
Le graphe de $h_2$ est la conjonction des graphes de deux fonctions bijectives $i_2$ et $j_2$. On appelle $x_2$ et $y_2$ les deux solutions de l'équation $\displaystyle \frac{x^{2} +1}{x} =d$. On a alors :
$\displaystyle i_{2} :B\rightarrow ] -\infty ,0[ \cup ] 1,2[ \ d\mapsto x_{2} \mapsto x_{2}$ avec $\displaystyle x_{2} =\frac{d-\sqrt{d^{2} -4} \ }{2}$.
$\displaystyle j_{2} :B\rightarrow ] 0,1[ \cup ] 2,+\infty [ ,d\mapsto y_{2} \mapsto y_{2}$ avec $\displaystyle y_{2} =\frac{d+\sqrt{d^{2} -4} \ }{2}$.
Finalement : $\displaystyle \forall \ d\in B,\ h_{2}( d) =\left(\frac{d-\sqrt{d^{2} -4} \ }{2} ;\frac{d+\sqrt{d^{2} -4} \ }{2}\right) \ $
Soit $h$ la composée de $h_2$ par $h_1$, etudiée ci-dessous :
$\displaystyle h:E\rightarrow F^{4} \ ,h_{2}( x) \mapsto h_{1}( h_{2}( x))$.
On peut alors définir $h$ par :
$\displaystyle h:B\rightarrow \left(\mathbb{R}^{\star } \backslash \{1,2\}\right)^{2} \rightarrow A\rightarrow \mathbb{R}^{4} \ ,d\mapsto h_{2}( d) \mapsto h_{1}( h_{2}( d))$
Cependant il y a une incompatibilité des domaines.
En appliquant les expressions trouvées précédemment :
$\displaystyle h( d) =\begin{Bmatrix}
-\sqrt{\frac{d-\sqrt{d^{2} -4} \ }{2} -1}\\
-\sqrt{\frac{d+\sqrt{d^{2} -4} \ }{2} -1}\\
\sqrt{\frac{d-\sqrt{d^{2} -4} \ }{2} -1}\\
\sqrt{\frac{d+\sqrt{d^{2} -4} \ }{2} -1}
\end{Bmatrix}$
Cependant on constate que $\displaystyle \forall \ d\in B,\ \frac{d-\sqrt{d^{2} -4} \ }{2} -1< 0$
On conclue alors que $\displaystyle h:E\rightarrow F^{4} \ ,d\mapsto h( d)$ n'existe pas.
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