Continuité uniforme

C’est difficile de répondre par quelque chose d’exploitable.
Sur un segment, la continuité entraîne l’uniforme continuité donc beaucoup de graphes, même extravagants, sont possibles.

Sur un intervalle non bornée, en + l’infini par exemple, il me semble que « la pente » (taux d’accroissement, disons) ne peut pas être de plus en plus grande (comme des dents de scie de plus en plus serrées).
Par exemple $x\mapsto \sin (x^2)$ n’est pas continue uniformément.

On a aussi l’exercice classique de comparaison avec $x\mapsto a|x|+b$.

Mais ma lanterne n’est peut-être pas suffisamment éclairée.

Édit : discussion retrouvée http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,231060,231083

Oui, pardon c’est assez imprécis.

Ici, on trouve un énoncé : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,231060,231126#msg-231126

Oui c’est l’idée de la pente que j’évoquais.

Par contre ce n’est pas proportionnel.
C’est une inégalité, pour les fonctions lipschitziennes.

Ici on trouve une « visualization » : https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity.

Mais plutôt que de bavarder à l'infini, mieux vaut procéder comme toujours pour assimiler une notion : bien apprendre la définition, considérer des exemples de fonctions qui sont uniformément continues et d'autres qui ne le sont pas, traiter des exercices concernant cette notion.

Un bon exercice, bien classique, est de démontrer que la fonction $x \mapsto \sqrt {x}$ est uniformément continue sur $\mathbb R_+$. Il y a plusieurs démonstrations, et le mieux est d'en rédiger une complètement et convenablement, plutôt que de bavarder à ce sujet. Par exemple, on pourra prouver que si $0 \le x \le y$, alors $0 \le \sqrt y - \sqrt x \le \sqrt {y-x}$, mais on peut procéder autrement. Déjà le Ramis d'exercices d'analyse (Masson - orange) proposait ça il y a cinquante ans...

Maintenant, s'exprimer en français correct, ce n'est pas nécessairement être « bon en français », c'est le minimum exigible pour communiquer sur un forum francophone. Déjà, mettre un « s » au pluriel et ne pas en mettre au singulier, ce n'est pas du luxe...

Exactement. Par exemple sur l'intervalle $[1,+\infty[$ cette fonction est uniformément continue.

Néanmoins tu ne peux pas dire que "La fonction racine carrée est uniformément continues sur [0, oo[ car : pour x et y proches et très grands la distance entre leurs images et très petite (la distance tend en quelque sorte vers 0)."

La propriété importante pour la continuité uniforme et le théorème de Heine : toute fonction continue sur un compact est uniformément continue. Soit c'est du cours, soit c'est un exercice, mais c'est incontournable, comme on dit.

On peut en déduire qu'une fonction $f$ continue et périodique sur $\mathbb R$, à valeurs réelles, est uniformément continue sur $\mathbb R$.

On peut en déduire la construction d'une fonction $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, uniformément continue sur $\mathbb R$, mais dont le taux de variation ne soit borné sur aucun intervalle $[A,+ \infty[$, autrement dit telle que pour tout $K>0$ et tout $A>0$ il existe $x \ge A$ et $y \ge A$ tels que $ x\neq y $ et $ | \frac {f(x)-f(y)}{x-y} | \ge K$.

On peut même fabriquer une telle fonction $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ qui soit dérivable (et donc dont la dérivée $f'(x)$ ne soit bornée sur aucun intervalle $[A,+ \infty[$).

Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Salut raoul.S,

j'avais déjà écris a écrit:

Tu vas te faire enguirlander.

Non, moi je ne suis pas d'accord avec ces « intuitions », tout ce bla-bla sur les valeurs « proches » ou « grandes ». Ni devant un professeur, ni derrière lui, ça ne sert à rien.

En particulier l'assertion : « l'uniforme continuité de la fonction racine carrée est assurée sur tout segment de R non? et donc le problème est à l'infini.» ne veut rien dire, car d'après le théorème de Heine toute fonction continue est uniformément continue sur tout segment de $\mathbb R $. Ce n'est pas « à l'infini » qu'est le problème, c'est globalement sur tout l'intervalle $\mathbb R_+ $. En fait pour la fonction racine carrée, si « à l'infini » signifie « sur un voisinage de $+ \infty$ », par exemple sur $[A, +\infty[$ avec $A>0$, c'est justement là qu'il n'y a aucun problème puisque la fonction racine carrée y est lipstchitzienne.

Bref je répète tout ce bla-bla est inutile. Comme j'ai dit, la seule chose à faire c'est mémoriser la définition et la mettre à l’œuvre sur des exemples et des contre-exemples. Et privilégier les exemples de fonctions uniformément continues non lipschitziennes, pour bien y voir clair sur la différence entre les deux notions. Notamment les exemples que j'ai suggérés.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Je ne viens pas ici pour faire de la psychanalyse mais des mathématiques et je n'ai pas qualité pour entrer dans la tête de mes semblables. Je répète que ces formulations approximatives sont sans valeur et ne servent qu'à perdre du temps, au détriment de l'activité mathématique elle-même : faire des exercices pour maîtriser la notion. Mais chacun use ou mésuse de son temps comme il veut. Nous ne sommes pas d'accord, ce n'est pas grave, ça n'empêche pas l'estime mutuelle.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

@ raoul.S
Il est certain que l'estime mutuelle a de la valeur.
Merci et bonne journée.
Fr. Ch.

On peut, en étudiant $\sup_{\delta > 0} \sup_{0 < |x-y| \leq \delta} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}.$

@totem je crois que tu confonds avec les fonctions lipschitziennes. La fonction racine carrée n'est pas lipschitzienne car son taux d'accroissement n'est pas borné justement. Par contre elle est bien uniformément continue.

Être uniformément continue c'est plus faible comme contrainte.

D'accord avec Raoul.S. On a spontanément tendance à tourner ses pensées vers les fonctions lipschitziennes, dont l'interprétation est plus aisée, déjà visuellement. La notion de continuité uniforme est plus délicate, elle est difficile, pour ne pas dire impossible, à visualiser, et il me semble vain de vouloir tourner la difficulté par des histoires d'allumettes ou que sais-je encore. Il faut simplement poser la définition, et la mettre en œuvre sur de nombreux exemples.

Effectivement il est paradoxal que la fonction racine carrée soit uniformément continue sur $\mathbb R_+$. Bon, c'est paradoxal mais c'est ainsi, et c'est sympa un paradoxe, ça nous réveille la comprenette. Cette fonction racine carrée présente un problème de non- lipschitzianitude, si j'ose dire, en $0$ seulement, mais il ne faut pas généraliser et croire que ce sera toujours comme ça.

Dans mon message précédent, j'ai écrit qu'une fonction continue et périodique sur $\mathbb R$ est uniformément continue sur $\mathbb R$ : ce n'est pas très dur à prouver avec le théorème de Heine, et je peux donner un corrigé si besoin est. Il en résulte que si vous prenez n'importe quelle fonction continue sur un segment, qui a les mêmes valeurs aux deux bouts, et si vous la prolongez par périodicité à $\mathbb R$ tout entier, vous aurez une fonction uniformément continue sur $\mathbb R$, avec donc des pentes aussi grandes que vous voulez, aussi loin que vous voulez. Je suggère par exemple $f(x)= \sqrt{1-x^2}$ pour $x \in [-1,1]$, prolongé à $\mathbb R$ tout entier par $2$-périodicité, tout simple, une suite de demi-cercles. Quand vous regardez ce graphe, vous n'avez pas l'impression de voir une fonction uniformément continue. Et pourtant elle l'est.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Bien sûr, tu peux chercher à le montrer c'est très facile.