Lipschitz
Bonsoir
je cherche à montrer pourquoi la fonction $g(y)= \sqrt{y}$ n'est pas Lipschitz.
Si cette fonction était $k$-lipschitzienne, cela voudrait dire que
$$
\exists k > 0, \forall y_1, y_2 \in [0,+\infty[: |g(y_1)-g(y_2)| \leq k |y_1 - y_2|.
$$
Donc ça nous donnerait que
$$
\exists k > 0, \forall y_1, y_2 \in [0,+\infty[: \dfrac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{|y_1-y_2|} < k.
$$
En quoi celà montre que la fonction racine n'est pas Lipschitz?
Cordialement
je cherche à montrer pourquoi la fonction $g(y)= \sqrt{y}$ n'est pas Lipschitz.
Si cette fonction était $k$-lipschitzienne, cela voudrait dire que
$$
\exists k > 0, \forall y_1, y_2 \in [0,+\infty[: |g(y_1)-g(y_2)| \leq k |y_1 - y_2|.
$$
Donc ça nous donnerait que
$$
\exists k > 0, \forall y_1, y_2 \in [0,+\infty[: \dfrac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{|y_1-y_2|} < k.
$$
En quoi celà montre que la fonction racine n'est pas Lipschitz?
Cordialement
Réponses
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Prouve la négation : pour tout $k>0$...
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Bonjour,
Quel point de $[0,+\infty[$ pose problème à ton avis ? Essaye de poser $y_1 =$ ce point et de faire tendre $y_2$ vers $y_1$. -
Oui c'est bien ça le problème! Comment savoir si quelque soit $k >0$, il existe $y_1,y_2$ telles que $\dfrac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{|y_1-y_2|}>k$?
Cordialement -
@ccapucine : relis le message de Math Coss. Un choix particulier de $y_1$ t'aidera à obtenir la contradiction.
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Si on prend $y_1=0$ alors la quantité sera $\dfrac{\sqrt{y_2}}{y_2}$. Je ne vois vraiment pas :-(
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C'est le bon $y_1$. Ensuite $\dfrac{\sqrt{y_2}}{y_2} = \dfrac{\sqrt{y_2}}{\sqrt{y_2}\times \sqrt{y_2}}=\dots$.
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Vous avez enlevé la valeur absolue dans le dénominateur. Pourquoi ?
Ensuite on a $\dfrac{\sqrt{y_2}}{y_2}= \dfrac{1}{\sqrt{y_2}}$ qui tend vers l'infini quand $y_2$ tend vers zéro. Elle n'est donc pas bornée.
C'est ok ?
Autre question : est-ce que $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ non bornée implique que $f$ n'est pas Lipschitz ?
Bien cordialement. -
ccapucine a écrit:Vous avez enlevé la valeur absolue dans le dénominateur. Pourquoi ?
C'est toi qui l'a enlevé en premier ;-). Mais c'est légitime car $y_2\geqslant0$, donc $y_2 = |y_2|$.
D'ailleurs, dans ton premier message, il aurait été mieux d'écrire $$\exists k > 0, \forall y_1, y_2 \in [0,+\infty[: \dfrac{\color{red}{|}\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\color{red}{|}}{|y_1-y_2|} < k.$$ccapucine a écrit:Ensuite on a $\dfrac{\sqrt{y_2}}{y_2}= \dfrac{1}{\sqrt{y_2}}$ qui tend vers l'infini quand $y_2$ tend vers zéro. Elle n'est donc pas bornée. C'est ok ?
Oui c'est ok. -
ccapucine a écrit:est-ce que $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ non bornée implique que $f$ n'est pas Lipschitz ?
Oui car dans ce cas, pour tout $k>0$, tu peux trouver $(y_1,y_2)$ tels que $\dfrac{|f(y_2)-f(y_1)|}{|y_2-y_1|} >k$. Vois-tu pourquoi ? (Tu peux choisir $y_1$ et $y_2$ en deux temps.)
D'ailleurs, je ne sais pas pourquoi tu mets une dérivée partielle. -
Bon, j'arrive après le dîner et la bataille. Tant pis, je veux exploiter mes figures !
On fixe $k>0$. On cherche $y_1$ et $y_2$ tel que $\dfrac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{y_1-y_2}>k$.
Indice : que représente le rapport $\frac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{y_1-y_2}$ ? La pente de la courbe représentative de la fonction « racine carrée » entre le point d'abscisse $y_1$ et le point d'abscisse $y_2$. On veut rendre cette pente grande, c'est-à-dire que la droite est « proche de la verticale ». Où faut-il prendre les points ? Faut-il les prendre proches ou éloignés ?
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Bonjour!
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