Lipschitz

Bonjour,
Quel point de $[0,+\infty[$ pose problème à ton avis ? Essaye de poser $y_1 =$ ce point et de faire tendre $y_2$ vers $y_1$.

@ccapucine : relis le message de Math Coss. Un choix particulier de $y_1$ t'aidera à obtenir la contradiction.

C'est le bon $y_1$. Ensuite $\dfrac{\sqrt{y_2}}{y_2} = \dfrac{\sqrt{y_2}}{\sqrt{y_2}\times \sqrt{y_2}}=\dots$.

ccapucine a écrit:

Vous avez enlevé la valeur absolue dans le dénominateur. Pourquoi ?

C'est toi qui l'a enlevé en premier ;-). Mais c'est légitime car $y_2\geqslant0$, donc $y_2 = |y_2|$.
D'ailleurs, dans ton premier message, il aurait été mieux d'écrire $$\exists k > 0, \forall y_1, y_2 \in [0,+\infty[: \dfrac{\color{red}{|}\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\color{red}{|}}{|y_1-y_2|} < k.$$

ccapucine a écrit:

Ensuite on a $\dfrac{\sqrt{y_2}}{y_2}= \dfrac{1}{\sqrt{y_2}}$ qui tend vers l'infini quand $y_2$ tend vers zéro. Elle n'est donc pas bornée. C'est ok ?

Oui c'est ok.

Bon, j'arrive après le dîner et la bataille. Tant pis, je veux exploiter mes figures !

On fixe $k>0$. On cherche $y_1$ et $y_2$ tel que $\dfrac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{y_1-y_2}>k$.

Indice : que représente le rapport $\frac{\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}}{y_1-y_2}$ ? La pente de la courbe représentative de la fonction « racine carrée » entre le point d'abscisse $y_1$ et le point d'abscisse $y_2$. On veut rendre cette pente grande, c'est-à-dire que la droite est « proche de la verticale ». Où faut-il prendre les points ? Faut-il les prendre proches ou éloignés ?