Question sur les suites

Un raisonnement par récurrence est possible.
1)On commence par montrer que cette suite est positive par récurrence.
2) On remarque que, sauf erreur, $\displaystyle u_{n+1}-4=\dfrac{5(u_n-4)-22u_n}{6(u_n+1)}$
Cela permet de montrer que si $0\leq u_n\leq 4$ alors $0\leq u_{n+1}\leq 4$.

PS:
La formule a été corrigée.

PS2:
On peut fusionner les deux raisonnements par récurrence en un seul.

Tu es en quelle année? Quelle classe?
Tu n’as pas appris à étudier le signe de fonctions usuelles au lycée??

Tu écris n’importe quoi.
Sinon, le mieux est de montrer par récurrence que pour tout $n$ entier naturel, $u_n\leq u_{n+1}$.
Tu étudies les variations de $f$ puis tu remarques que $u_0 \leq u_1$.

Benh ça veut dire quoi :

« (0, 4) est inclue entre les deux Racines » ?

@maths89
C'est un exercice donné dans quelle classe? Terminale S?

Complément.
On peut chercher ce qui se passe pour d'autres valeurs initiales $u_0$. En reprenant mes considérations précédentes on montrera que si $\beta < u_0 < \alpha$, le terme $u_n$ est défini pour tout $n \in \mathbb N$, la suite $u_n$ est croissante et sa limite est $\alpha$. En adaptant quelque peu ces considérations, on montrera que si $ u_0 > \alpha$, le terme $u_n$ est défini pour tout $n \in \mathbb N$, la suite $u_n$ est décroissante et sa limite est $\alpha$. Ainsi, pour tout $u_0 \in ]\beta, + \infty[$, la limite de la suite $u_n$ est $\alpha$. On dit que le réel $\alpha$ est un point fixe attractif et que son bassin d'attraction est $ ]\beta, + \infty [ $. Le réel $\beta $ est un point fixe répulsif, ce qui signifie qu'il ne peut être limite de la suite $u_n$, sauf trivialement si $u_0= \beta$, auquel cas la suite $u_n$ est constante.

Pour les autres valeurs initiales $u_0$, la situation se complique du fait qu'un terme $u_n$ peut n'être pas défini. On peut chercher les valeurs initiales $u_0$ pour qui ce malheur est susceptible de se produire.

On peut aussi envisager la droite réelle projective $\widehat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\infty \}$ et prolonger la fonction homographique $f: x \mapsto \frac {7x+4}{6(x+1)}$ en posant : $ f(\infty) = \frac 76$ et $f(-1)=\infty$. On obtient une bijection de $\widehat{\mathbb{R}}$. Pour toute valeur initiale $u_0$, la suite $u_n$ passe au plus une fois par la valeur $\infty$ et si $u_0 \neq \beta$ elle finit par converger vers $\alpha$, décidément très attractif.

Bon, je file.
Bonne journée.
Fr. Ch.

supp

Bonjour,
On peut aussi, pour revenir à la question de départ, dire de façon très élémentaire (mais est-ce élémentaire pour un élève de terminale S par exemple ?) que si $u_n\geqslant 0$, alors non seulement $7u_n+4\geqslant 4>0$ et $3u_n+3\geqslant 3>0$, donc $u_{n+1}$, qui est la moitié du quotient du premier par le second, est positif, mais on a aussi $7u_n+4\leqslant 9u_n+9$, d'où en divisant par $2(3u_n+3)>0$, on obtient la majoration $$u_{n+1}=\dfrac 12\dfrac{7u_n+4}{3u_n+3}\leqslant\dfrac 12\dfrac{9u_n+9}{3u_n+3}=\dfrac 32<4\;.$$

On itère la fonction $f: x \mapsto f(x) \doteq \dfrac12 \dfrac{7x+4}{3x+3}$. Evidemment, on pourrait aussi écrire $f: x \mapsto f(x) \doteq \dfrac{7x+4}{6x+6}$. Et l'on arrive à un intéressant problème dans le problème: pourquoi l'auteur du sujet a-t-il utilisé la première écriture plutôt que la deuxième ? Etait-ce avec l'intention explicite de donner de l'urticaire à Chaurien ? Ou bien pour tester combien de ses élèves arriveront à développer $2(3x+3)=6x+6$ ? Ou bien parce que le chat a miaulé, il avait faim, et il a alors oublié de développer ? (** pour ceux qui n'arriveraient pas à suivre, le dernier "il" désigne l'auteur du sujet, après avoir donné à manger au chat, et pas le chat lui-même).

On commence par transformer la fonction $f$ en une application, en gérant, d'une manière ou d'une autre, le problème douloureux créé par la valeur $x=-1$. On constate que $x\geq 0$ est vérifié par $x=0$, et que $x\geq 0 \implies f(x)\geq 0$. On peut alors sortir sa gousse d'ail, son jeton de caddie, ainsi que le portrait de N. Bourbaki, déguisé en Saint Georges avec C52 gravé en gros sur son bouclier: la suite existe, bénie soit la suite.

La dérivée de $f$ vaut $\dfrac {ad-bc}{(cx+d)^2}$. Comme $7>4$, la fonction est croissante. Comme, en outre, $f(0)=4/6>0$ et $f(4)=32/30< 120/30=4$, on voit que l'intervalle $[0,4]$ est un intervalle stable.

On arrive à un deuxième problème dans le problème. Pourquoi 4 et pas $\alpha= \frac{1+\sqrt{97}}{12}$ ? Comme l'on sait, les Inspecteurs Généraux de Mathématiques élèvent des pigeons voyageurs dans leur guitoune du 106, et ils s'en servent pour distribuer les corrigés des épreuves du bac avant même que le bac n'ait eu lieu. Faut-il penser que l'auteur du sujet a raté le pigeon ? Ou qu'il l'a fait cuire pour nourrir le chat ? Une autre possibilité est que les "pourquoi 4" n'ont jamais corrigé de copies de leur vie. Au contraire, toute personne ayant un contact avec la vraie vie saurait que l'une des bourdes attendues est "la suite est croissante parce que la fonction est croissante". Sur l'intervalle $[0,4]$, ce "parce que" est faux, purement et simplement faux. On donne un contre exemple et on n'en parle plus. Sur l'intervalle $[0,\alpha]$, prévoir des palabres interminables.

Par définition, une fonction croissante est une fonction qui décroit quand la variable décroit. Par absurdification, on a aussi le corollaire une fonction croissante est une fonction qui pas-décroit quand la variable pas-décroit. Comme $u$ pas-décroit entre $u[0]$ et $u[1]$, alors $u$ pas-décroit entre $u[1]$ et $u[2]$, et ainsi de suite, héréditairement. Une suite croissante bornée converge, et par continuité, la limite est un point fixe de $f$.

On peut aussi sauter dans la montgolfière stratosphérique et argumenter qu'une homographie de la sphère de Riemann ayant deux points fixes est conjuguée avec une multiplication, le multiplicateur étant la dérivée au premier point fixe. Si l'on itère dans l'autre sens, le multiplicateur est remplacé par son inverse, qui est la dérivée au deuxième point fixe. Ne pas essayer cela en TS, les pigeons voyageurs ne résistent pas à une trop forte raréfaction de l'air ambiant.

Cordialement, Pierre.