Étude d'une série
Bonsoir
Soit $n \in \N^{*}$ et $\alpha \in\, ]1,+\infty[$. Étudier la nature de la série de terme général : $$
u_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}.
$$ On obtient l'encadrement : $\dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{(n+1)^{\alpha-1}} \leq u_n \leq \dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$
Mais je ne comprends pas la suite donné dans mon livre :
On en déduit que $\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n$ est de même nature que $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$
On a montré que : $u_n \sim \dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$ mais je ne comprends l'histoire de la série de même nature $u_n$ étant déjà une somme infinie.
Soit $n \in \N^{*}$ et $\alpha \in\, ]1,+\infty[$. Étudier la nature de la série de terme général : $$
u_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}.
$$ On obtient l'encadrement : $\dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{(n+1)^{\alpha-1}} \leq u_n \leq \dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$
Mais je ne comprends pas la suite donné dans mon livre :
On en déduit que $\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n$ est de même nature que $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$
On a montré que : $u_n \sim \dfrac{1}{\alpha-1} \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}$ mais je ne comprends l'histoire de la série de même nature $u_n$ étant déjà une somme infinie.
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Réponses
(on s'intéresse juste à la convergence)
(où $u_n\ge 0,v_n\ge 0$)
On a bien un encadrement sur les termes généraux des suites séries puisque $u_n$ est le terme général de $\sum u_n$ (la série qui nous intéresse).
En effet j'ai mal compris la définition de départ :-o
Non, pour tout $n$ entier naturel non nul, $u_n$ est un nombre.
Donc $(u_n)$ est une suite.
« Le terme général de $u_n$ est $\frac{1}{n^{\alpha}}$. »
Non, le terme général de $(u_n)$ est la somme finie dépendante de $n$ introduite par l’énoncé.
Par exemple le nombre $u_n$ (et pas la suite $(u_n)$) est bien défini par une somme infinie ; OShine avait juste là-dessus.
Il m’a tout simplement semblé que OShine faisait la confusion entre la convergence de la série de terme général $\sum v_n$, et la convergence de la série de terme général $v_n$. Peut-être que je me trompe Calli et qu’il ne fait pas la confusion mais permets-moi d’en douter.
« $u_n$ étant déjà une somme infinie ». J’ai l’impression que pour lui « somme infinie » signifie « non convergente »...
C’est pour cette raison que je préfère lui dire que cette somme infinie est convergente et sa somme est un nombre...fini.
Certes j’admets avoir joué avec les mots sur ce coup...:-)
Dans le cas contraire, je ne comprends pas ce qui pose problème à OShine.
J'ai jamais pensé qu'il y avait une intention malveillante.
En fait j'avais compris que "somme infinie / finie" désigne le nombre de termes, alors que pour toi ça désigne sa valeur (c'est le retour du quiproquo !). A partir de là, c'est normal qu'on réponde différemment.
Cordialement
OShine, tu es toujours là?