Formule de Poincaré

Personnellement je trouve cette égalité évidente (modulo de petits problème que je signale à la fin) :

Dans le membre de droite de l'égalité, on a toutes les combinaisons possibles de $k$ intersections de $A_i$, avec des $i$ entre $1$ et $n+1$, accolées au signe $(-1)^{k+1}$.

Dans le membre de gauche, la première somme correspond à la même chose, les indices $k$ étant restreints à être entre $1$ et $n$, la seconde somme correspond aux intersections de deux $A_i$ dont l'un est $A_{n+1}$, et la troisième correspond aux intersections de $k+1$ ensembles $A_i$, l'un d'eux étant $A_{n+1}$ et les autres d'indice $i$ entre $1$ et $n$.

Bon par contre il y a des erreurs de signe, ça ne colle pas qu'il y ait un signe $+$ devant la somme des $\mathbb P(A_i \cap A_{n+1})$ par exemple, ni qu'il y ait un $(-1)^{k+1}$ devant la troisième somme du membre de gauche.

Peut-être que c'est parce que tu as mal orthographié "Poincaré" que tu n'arrives pas à retrouver le post dont tu parles ?

supp

topopot a écrit:

Merci pour cette seconde démonstration, mais je bloque sur un passage : comment démontrer que : $$\prod_{i=1}^n (1-\mathbf{1}_{A_{i}} ) =\sum_{k=0}^n \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} )$$ ?

J'étais parti du principe que la formule de la distributivité généralisée était acquise, mais on peut la démontrer (dans ce cas particulier, ce sera plus simple). On procède par récurrence. L'initialisation est facile et pour l'hérédité, on écrit :
\begin{eqnarray*}
\prod_{i=1}^{n+1} (1-\mathbf{1}_{A_{i}} )
&=& (1-\mathbf{1}_{A_{n+1}} ) \times \prod_{i=1}^{n} (1-\mathbf{1}_{A_{i}} ) \\
&=& (1-\mathbf{1}_{A_{n+1}} ) \times \sum_{k=0}^n \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} ) \\
&=& \sum_{k=0}^n \left[ \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} )\right] + \sum_{k=0}^n \left[(-\mathbf{1}_{A_{n+1}}) \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} ) \right] \\

&=& \sum_{k=0}^n \left[ \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} )\right] + \sum_{k=0}^n \left[ \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k}<i_{k+1} =n+1} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} ) \right] \\

&=& \sum_{k=0}^n \left[ \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} <n+1} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} )\right] + \sum_{k=1}^{n+1} \left[ \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} =n+1} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} ) \right] \text{ (par changement de variable dans la $2^e$ somme)}\\\


&=& \sum_{k=0}^{n+1} \left[ \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} <n+1} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} )\right] + \sum_{k=0}^{n+1} \left[ \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} =n+1} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} ) \right] \text{ (on rajoute des termes nuls)}\\

&=& \sum_{k=0}^{n+1} \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n+1} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} )
\end{eqnarray*}

Bon, mais du coup l'intérêt de ma preuve était de gagner du temps si on connaît la distributivité généralisée. Sinon, la preuve directe (celle que tu n'aimes pas) est plus courte.

supp

Non. Essaie pour $n=1$. NB: Si $k=0$, alors $(i_\ell)_{1\leqslant \ell\leqslant k}$ est la famille vide.

Oui, c'est ça.

Oui il y a une faute, mais ce n'est pas ce que j'ai écrit ! J'ai écrit (avec ajout de parenthèses pour plus de clarté) : $$(-\mathbf{1}_{A_{n+1}}) \times \left(\prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} )\right)=\prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k}<i_{k+1} =n+1} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} )$$
(le facteur $(-\mathbf{1}_{A_{n+1}})$ n'apparaît qu'une fois). Remarque que si $1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k}<i_{k+1} =n+1$, alors on a bien $1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n$.