Nature série

Bonjour,
En ligne 4, on utilise les croissances comparées. En ligne 5, on utilise la définition d'un petit $o$ et celle d'un équivalent. Et en ligne 6, on passe à l'exponentielle, puis on montre que $u_n = o\left(\frac1{n^2}\right)$ et on conclu que $\sum u_n$ converge (absolument).

L'auteur a appliqué la "règle du $n^2 u_n$" (si $n^2u_n\longrightarrow 0$, alors $\sum u_n$ converge) et, pour y arriver, il est passé au $\ln$, ce qui est classique pour un $u_n$ qui a une expression du type $(f(n))^{g(n)}$. Il n'y a pas d'astuce ici, mais des méthodes à retenir.

D’une manière générale, on n’enseigne pas « comment trouver un truc astucieux » pour démontrer quelque chose.
Un exemple très simple : à un certain niveau, on définit $a$ tel que $6a=17$.
À la consigne : écrire en écriture décimale le nombre $12a$, certains « verront » $12=2\times 6$ et d’autres ne le verront pas.

Je ne crois pas que cela s’enseigne.
Ceux qui l’auront déjà vu, reproduiront...s’ils s’en rappellent.
Mais qui, vraiment, trouvera cette idée de lui-même ? Je ne sais pas répondre à cette question.

Ici, en effet la méthode « $lim n^\alpha u_n=0$ » est parfois citée comme théorème dans les cours poly/bouquins sur les séries/intégrales.
J’en comprends que c’est à retenir.