Série de Bertrand

OShine
OShine
dans Analyse
Bonsoir,

Toujours autant de difficultés sur les exercices de ce types où il faut considérer plein de cas.

On a $u_n =\dfrac{1}{(\ln n)^{\beta} n}$

Si $\beta \leq 0$ le corrigé dit que la série diverge car $\dfrac{1}{(\ln n)^{\beta} n} \geq \dfrac{1}{n}$ pour $n \geq 3$.

Je n'arrive pas à montrer ce résultat.

Pour la suite :

Si $\beta>0$ la fonction $f(t)=\dfrac{1}{(\ln t)^{\beta} t}$ est positive décroissante sur $[2,+\infty[$ et l'on connait une primitive de $f$ : la forme de cette primitive dépend de la position de $\beta$ par rapport à 1.

Je n'ai pas compris le passage en rouge.

Pour la décroissance je suis obligé de passer par une étude de fonction ?

Réponses

  • Amathoué
    Amathoué
    Tu voulais écrire « si $\beta\leq 0$ alors $\frac{1}{(\ln n)^{\beta} n} \geq \frac{1}{n}$ à partir d’un certain rang.
    Eh bien n’a-t-on pas $(\ln n)^{-\beta} \geq 1$ à partir d’un certain $n$?
    Autrement dit, quand « le ln dépasse 1? » (Terminale).
  • OShine
    OShine
    Ah d'accord merci. Oui j'ai fait une erreur de frappe.

    Quand $n \geq e$ on a $\ln n \geq 1$

    Par croissance de la fonction $x \mapsto x^{-\beta}$ on a le résultat.

    Pour la décroissance je pense avoir trouvé, le dénominateur est une fonction croissante et positive, donc l'inverse est décroissante et positive.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins

    Pour le passage en rouge, vois des primitives pour Bêta valant 1, 2 ou 1/2. Ce n'est pas le même genre de primitive.
    Tu vois pourquoi on nous parle de la monotonie et positivité de la fonction, au passage ?
  • Amathoué
    Amathoué
    Pour le passage en rouge, $f$ est sous la forme « u prime u puissance moins beta » non...?
    Donc une primitive sera « un sur moins beta plus un fois u puissance moins beta plus un »...?
    Et $-\beta +1$ ne doit pas s’annuler...
  • OShine
    OShine
    La monotonie et la positivité servent pour utiliser la comparaison série intégrale.

    Ok oui en effet il faut écarter le cas $\beta=1$.
  • Dom
    Dom
    Je ne sais plus où l’on en est mais dans beaucoup de « voies » on connaissait ces critères mais l’on demandait aux candidats de savoir démontrer le critère de Bertrand.
    L’outil intégral étant très commode.

    Remarque : (est-on obligé de)
    Je n’ai pas regardé de près, mais quand on veut se passer de l’outil intégral (cohérence de progression, exercice de style...) on peut s’intéresser au Théorème des Accroissements Finis. Je ne sais pas si l’on s’en sort...
    Pour le critère de Riemann par exemple, ça fonctionne avec le TAF sans théorie de l’intégration.
  • OShine
    OShine
    Le critère des séries de Bertrand n'est pas dans le cours de MPSI je suppose qu'il est devenu hors programme mais c'est un exercice à savoir faire.

    Je m'en suis sorti en utilisant l'inégalité :

    $\displaystyle\int_{2}^n f(t) dt \leq \sum_{p=2}^n f(p) \leq \dfrac{1}{ 2 (\ln(2) )^{\beta}} + \displaystyle\int_{2}^n f(t) dt$

    Si l'intégrale $\displaystyle\int_{2}^n f(t) dt$ converge, on a même un équivalent de $u_n$.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    la comparaison avec l'intégrale donne rapidement les conditions de convergence de la série :

    soit avec u = lnx : $\int_e^{+oo}\frac{dx}{xln(x)} = \int_1^{+oo}\frac{du}{u^{\beta}}

    = \frac{1}{(1-\beta)u^{\beta - 1}}$ à calculer pour u variant de 1 à +oo

    la convergence est assurée pour $\beta > 1$

    cordialement
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