Produit de Cauchy de 2 séries entières
Bonsoir
Dans la correction de mon exercice, il est proposé de faire le produit de Cauchy de 2 séries entières : exp(x) et exp((x^2)/2) afin de trouver les coefficients de la série entière produit.
Je n'arrive pas faire le calcul du produit de [large]C[/large]auchy pour trouver les coefficients pairs et impairs de la série produit. Quelqu'un peut-il m'aider svp ?
Les informations détaillées sont dans les images jointes en attachement.
Merci.
Nicolas.
[Augustin Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Dans la correction de mon exercice, il est proposé de faire le produit de Cauchy de 2 séries entières : exp(x) et exp((x^2)/2) afin de trouver les coefficients de la série entière produit.
Je n'arrive pas faire le calcul du produit de [large]C[/large]auchy pour trouver les coefficients pairs et impairs de la série produit. Quelqu'un peut-il m'aider svp ?
Les informations détaillées sont dans les images jointes en attachement.
Merci.
Nicolas.
[Augustin Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Réponses
-
Notons $\ \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\ $ et $\ \displaystyle e^{x^2/2} = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n,$ avec $a_n = \frac{1}{n!}$ et $$
b_n = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2^{n/2} (n/2)!} &\text{ si } n \text{ est pair}\\
0 &\text{ sinon.}\end{matrix}\right.
$$ Le coefficient $c_n$ devant $x^n$ dans le développement en série entière de $e^{x+x^2/2}$ est donc $\ \displaystyle \sum_{k=0}^n a_{n-k} b_k.$
Si $n=2\ell$ est pair ou $n=2\ell+1$ est impair, on trouve $$
c_n = \sum_{k=0}^\ell \frac{1}{(n-2k)!2^kk!} = \sum_{k=0}^\ell \frac{(2k)! \binom{n}{2k}}{2^k k! n!}.$$ -
Merci beaucoup pour votre réponse. Pourriez-vous me donner un lien vers un tutoriel afin que je puisse écrire comme vous les formules mathématiques, sans avoir a prendre des photos de mes exercices s'il vous plait ?
Merci
Nicolas -
Effectue un clic droit sur la formule, puis « show maths... ».
Ça te donne le code.
Il suffit ensuite de coller et de placer des dollars autour. -
Merci !
-
L'exercice 4-3 est sympa. La seule difficulté est la question a) selon moi.
Le reste est quasi-immédiat.
(Le nombre de bijections d'un ensemble de $n$ éléments dans lui-même est $n!$. Une involution est une bijection particulière )
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres