Produit de Cauchy de 2 séries entières

Notons $\ \displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\ $ et $\ \displaystyle e^{x^2/2} = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n,$ avec $a_n = \frac{1}{n!}$ et $$
b_n = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2^{n/2} (n/2)!} &\text{ si } n \text{ est pair}\\
0 &\text{ sinon.}\end{matrix}\right.
$$ Le coefficient $c_n$ devant $x^n$ dans le développement en série entière de $e^{x+x^2/2}$ est donc $\ \displaystyle \sum_{k=0}^n a_{n-k} b_k.$
Si $n=2\ell$ est pair ou $n=2\ell+1$ est impair, on trouve $$
c_n = \sum_{k=0}^\ell \frac{1}{(n-2k)!2^kk!} = \sum_{k=0}^\ell \frac{(2k)! \binom{n}{2k}}{2^k k! n!}.$$

Effectue un clic droit sur la formule, puis « show maths... ».
Ça te donne le code.
Il suffit ensuite de coller et de placer des dollars autour.

L'exercice 4-3 est sympa. La seule difficulté est la question a) selon moi.
Le reste est quasi-immédiat.

(Le nombre de bijections d'un ensemble de $n$ éléments dans lui-même est $n!$. Une involution est une bijection particulière )