Différentiable et linéaire ?

Pas besoin de l'hypothèse f C^1 normalement.

Comme tu dis Riemann_lapins_cretins il suffit de fixer $x$ et de dériver par rapport à $\lambda$ en $0$.

Je conseille aussi cette méthode. Trouver la valeur de $f$ en 0, puis calculer $\frac{\partial f}{\partial u}(0)$ pour un vecteur $u\in E$ (autrement dit $D_0 f\cdot u$). La conclusion devrait suivre.

Bonjour,

dérivant par rapport à $\lambda$, tu obtiens $f'(\lambda x) x=f(x)$. Cette dernière égalité étant valable quel que soit la valeur de $\lambda$, il suffit de choisir une valeur de $\lambda$ "qui va bien" ;-)
Note que $f'(\lambda x) \in L(E,F)$.
Bonne journée

F.

Bonjour
Je pose L=f'(0). Par définition de la différentiabilité en 0 on a

f(h)=f(0)+L(h) + e(h) ( où e(h)=o(h)).

Mais c'est clair que f(0)=0.

On a donc f(h)=L(h) + e(h)

Alors $\lambda f(h)=f(\lambda h)$ donne en simplifiant

$\lambda e(h)=e(\lambda h)$ pour tout $\lambda $


Soit u un vecteur quelconque de norme 1. On pose $h=a u$

On a alors e(u)= e(h / a ) =1/a e(h) =1/||h|| e(h) =o(1) quand a=||h|| tend vers 0.

Donc e(u)=0 pour tout vecteur unitaire puis e(u)=0 pour tout u.

Finalement f(h)=L(h) est linéaire.

J'ai suivi ce fil sans y contribuer parce que dès que j'ai vu "dériver par rapport à $\lambda$", je me suis demandé où il était écrit qu'on a le droit de faire ça...

Finalement bd2017 a donné une réponse claire qui ne fait rien qui m'a l'air interdit/douteux. A voir si celui qui a posé la question est d'accord avec moi que le dernier message avant le mien répond clairement à la question !

Disons que "dérive l'égalité par rapport à $\lambda$", je ne comprends pas en quoi ça serait permis.

Si ce que ça voulait dire, c'est "dérive l'application $\lambda \longmapsto f(\lambda x)$ à $x$ fixé, ce qui est autorisé parce que machin", il manque quand même l'explication de pourquoi on a le droit de faire ça.

Je pense quand même qu'au moment où un étudiant arrive au calcul différentiel on estime qu'il sait pourquoi une égalité de fonctions dérivables peut se dériver membre à membre.

R.L.C. : mais le problème pour moi n'était pas là. L'énoncé nous file une fonction $f$, différentiable par rapport à une variable $x \in E$. Alors, dériver la fonction $x \longmapsto f(\lambda x)$ pas de problème, mais ça serait dériver par rapport à $x$, ça. Pour dériver par rapport à $\lambda$, il faut justifier les choses un poil différemment quand même, non ? Parce qu'on dérive la fonction $F(\lambda) : x \longmapsto f(\lambda x)$ par rapport à $\lambda$, ce n'est pas beaucoup plus compliqué de vérifier si on a le droit mais ce n'est pas forcément d'une trivialité absolue. Je trouve.

Bonjour
J'ai lu le dernier message de Julien Bernis et je suis d'accord avec son raisonnement.
De plus il a raison on peut supposer dans l'hypothèse uniquement $\lambda>0$ et dans ma démo je n'utilise que ça
(mon nombre a est une norme donc >0)

Toutes les solutions sont justes néanmoins à mon avis si Ahlamsmap a déjà vu le "Théorème de dérivation des fonctions composées" alors effectivement comme dit Riemann_lapins_cretins c'est dommage de ne pas l'utiliser car c'est super expéditif.

Pour le coup il ne s'agit pas de dériver sans réfléchir (on aurait faux) mais d'appliquer un vrai théorème du cours (peut-être le seul théorème jusqu'à l'inversion locale en calcul diff) !
Sans trop m'avancer je pense que l'auteur connaît ce théorème et que cet exercice est un typique pour tester sa connaissance du théorème. Dans le même genre on a les fonctions homogènes (pareil mais une puissance n apparaît quand lambda sort) qui testent la même chose (je soupçonne qu'on pose cet exo pour voir comment les étudiants utilisent le théorème dans des cas abstraits sans utiliser la notation d/dx).
C'est dans toutes les feuilles d'exos des meilleurs Liddl de France pour pas cher c'est du basique.