En déduire que (0,0) est un point-col de f

Bonsoir
les dérivées partielles sont nulles en (0,0) f est un point critique
le terme de degré 2 de f(h,k) est une forme quadratique de signature (1,-1) dans une direction principale f est un minimum
en (0,0) dans l'autre direction principale, f est maximum en (0,0) , les directions sont orthogonales.

Il s'agit de prouver que pour tout $\rho>0$, il existe $(x_1,y_1) \in \mathbb R^2$ tel que $\left\Vert (x_1,y_1)\right\Vert \leq \rho $ et $f(x_1,y_1)<1$, et qu'il existe aussi $(x_2,y_2) \in \mathbb R^2$ tel que $\left\Vert (x_2,y_2)\right\Vert \leq \rho $ et $f(x_2,y_2)>1$.
Il suffit de noter que $f(x,0)=x^3+1$.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Pour la question initiale, le mot point col vient justement de l'illustration de la fonction f par la surface d'équation z=f(x,y), l'axe des z étant vertical. En un sommet (a,b), on a systématiquement $f(x,y)\le f(a,b)$ (localement), au fond d'un creux (a,b), on a systématiquement $f(x,y)\ge f(a,b)$ (localement); ces deux cas illustrent l'idée d'extrémum local. Sur un col, localement, il y a des cas où $f(x,y)\le f(a,b)$, d'autres où $f(x,y)\ge f(a,b)$.

Cordialement.

Bonsoir, le minimum n’est pas global : en partant de l’origine, on constate quitte à se restreindre à des directions que f n’est pas bornée inférieurement ni supérieurement, prendre les limites de $f(x,0)$ en $ +\infty$ et $-\infty$ respectivement, et donc f n’est bornée ni inférieurement ni supérieurement: pas d’extrêmement global.

Bonjour,

@Malavita : est-être vous sûr de votre formule du DL2 de votre poste d'hier, pour ma part je connais la formule suivante :
$f(x+h,y+k)=f(x,y)+h\dfrac{\delta f}{\delta x}(x,y)+k\dfrac{\delta f}{\delta y}(x,y)+\dfrac12(h^2\dfrac{\delta^2f}{\delta x}(x,y)+k^2\dfrac{\delta^2f}{\delta y}(x,y) +2hk\dfrac{\delta^2f}{\delta x\delta y}(x,y) +o(||h,k||^2)$
si le point (0,0) est critique :
$\dfrac{\delta f}{\delta x}(0,0)=0$ et $\dfrac{\delta f}{\delta y}(0,0)=0$
donc
$f(h,k)=f(0,0) +$$\dfrac12$$(h^2\dfrac{\delta^2f}{\delta x}(0,0)+k^2\dfrac{\delta^2f}{\delta y}(0,0) +2hk\dfrac{\delta^2f}{\delta x\delta y}(0,0)) +o(||h,k||^2)$
j'ai $\dfrac12$ d'écart?,pour moi ce $\dfrac12$ correspond bien un dL de Taylor. Quelle formule de départ utilisez-vous?

@Shadows Asgard
Malavita a raison, en effet les dérivées premières en x et y s'annulent pour (0,0), dont il se passe quelque chose [par analogie en 1D, on calcul la dérivée première ( 2D :dérivée en x et y ) pour connaître le sens de variation ( en gros la courbe monte ou descend), quand la dérivée s'annule, il se passe quelque chose, en 1D la courbe change de sens , pour en savoir plus on calcul (si la dérivée première est continue) la dérivée seconde pour savoir si c’est un minimum ou un extremum ou un point d'inflexion ou rebroussement]. Donc en 2D on calcul les dérivées secondes en x, y et xy pour savoir se qui se passe. En 2D on a des surfaces, on veut savoir si au point d’annulation la surface est un bol tourné vers le haut ( maximum local), ou vers le bas ( minium local),ou une surface qui ressemble à un col de montagne ou une selle de cheval ( point col ou selle).

Bonjour.

"... comment différencie -t-on un point col d'un point selle ? " ??? Pour moi, ce sont deux noms pour la même chose. Maths78 dit la même chose : "...( point col ou selle)".

Cordialement.

Ok, merci de cette précision. Je ne connaissais pas la dénomination point selle.

Bonne journée

F.

Bonjour,

S'agit-il du point I(3,3) ?

Bonjour,

J'ai posé cette question car I(3,3) est un point critique extremum local de f dans l'exercice et la question est "cet extremum est-il global?"

De manière générale, une fonction f(x,y) peut atteindre son maximum global ( resp minimum global) :
- soit en des points où f a des extrema locaux,
- soit en des points où f n'est pas différentiable,
- soit sur le bord du domaine de définition.

Voici plusieurs manières (que je connais, il y en a peut-être d'autres) de répondre à la question concernant la nature global ou non d'un extremum local ( je prend I(3,3)) :
1-on peut étudier le signe $\phi(x,y)$= f(x,y) - f(3,3),
2-on peut étudier le signe f(3+h,3+k),
3- regarder le comportement sur le bord du domaine de définition soit ici le bord de $R^2$ $ -+\infty$ (comme le dit @callipiger)
4- si la fonction est de classe $C^2$ étudier la matrice hessienne :
si les mineurs de la hessienne de f en I sont de signe contraire,f présente un maximum global en I
si les mineurs de la hessienne de f en I sont de identique,f présente un minimum global en I

Dans la question 2. b) il n'est pas nécessaire de considérer la limite de $f(x,0)=x^3+1$. Le fait que cette fonction prenne des valeurs $ > f(3,3)$ et des valeurs $< f(3,3)$ suffit à prouver qu'il ne s'agit pas d'un extremum global.

Dans le même genre, « résoudre l'équation $x-3=0$ », ce serait peut-être une question à l'introduction des lettres en algèbre en début de collège mais pour quelqu'un qui parle de point-col, c'est une drôle de façon de parler.