Lemme de condensation de Cauchy

C'est que, pour $f$ décroissante, les deux séries $\sum f(n)$ et $\sum 2^n f\big(2^n\big)$ sont de même nature.

Je pense que c'est simplement que Cauchy voulait écrire la démonstration classique de la divergence de la série harmonique $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$, en remarquant $H_{2n}-H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$, d'où l'encadrement $\frac{1}{2} \le H_{2n}-H_n \le 1$, qui interdit la convergence.

Il a dû s'apercevoir que ce type d'écriture montrait très facilement le critère pour la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$, car après transformation, on obtient la série géométrique $
\sum 2^{n}\frac{1}{{(2^n)}^\alpha} =
\sum \big(2^{1-\alpha}\big)^{n}
$, et il l'a écrit dans son cours.

Même chose pour les séries de Bertrand $\sum \frac{1}{n^a \cdot \ln^b(n)}$.

Soit $a\in\R^{\N}$ une suite telle que pour tout $k\in \N$, $0 \leq a(k+1) \leq a(k)$.
Alors pour tout $n\in \N$ on a les inégalités $$
\frac{1}{2} 2^{n+1} a(2^{n+1}) = 2^n a(2^{n+1})= \sum_{k=1+2^n}^{2^{n+1}} a(2^{n+1}) \leq \sum_{k=1+2^n}^{2^{n+1}} a(k) \leq \sum_{k=1+2^n}^{2^{n+1}} a(2^n) = 2^n a(2^n)$$ ce qui entraîne immédiatement l'équivalence entre les convergences des séries de terme général $n\mapsto a(n)$ et $n \mapsto 2^n a(2^n)$.