Fonctions en escalier
Bonjour
C'est une question simple.
On sait que que pour toute fonction $f$ continue par morceaux définie sur $[a,b]$, il existe une suite de fonctions $(f_n)$ en escalier qui convergence uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Que peut-on dire si $f$ est discontinue ? Une convergence simple ? Rien du tout ?
Merci d'avance !
C'est une question simple.
On sait que que pour toute fonction $f$ continue par morceaux définie sur $[a,b]$, il existe une suite de fonctions $(f_n)$ en escalier qui convergence uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Que peut-on dire si $f$ est discontinue ? Une convergence simple ? Rien du tout ?
Merci d'avance !
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Réponses
Pour montrer qu'il n'y a pas convergence simple c'est plus compliqué... Une façon de faire est de dire qu'une fonction en escalier est borélienne et qu'une limite simple de fonctions boréliennes est encore borélienne. Puisqu'il existe des fonctions qui ne sont pas boréliennes on sait qu'il existe des fonctions qui ne sont pas limite simple de fonctions en escalier.
En fonction de ce que tu autorises ou non comme fonctions en escalier je suppose qu'on pourrait aussi faire une démonstration avec le théorème de Baire. J'attends de voir si quelqu'un d'autre dispose d'une solution plus élémentaire que la mienne.