Intégration

issam greeny
issam greeny
dans Analyse
Bonjour à tous, s'il vous plaît est-ce qu'on a l'équivalence
(fn) converge vers f <==> int(|fn-f|) converge vers 0
La première implication, je n'ai pas de problème, mais la deuxième !!! Je me suis bloqué.
Merci infiniment.
(je désigne par int l'intégrale).

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Sais-tu majorer $\displaystyle \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$?
  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    De quelle convergence parles-tu quand tu dis « $(f_n)$ converge vers $f$ » ?

    Cordialement

    Dom
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Merci Dom de m'avoir ouvert les yeux.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    $f_n(x)=x^n$, $f(x)=0$ pour $x\in [0,1]$

    $\displaystyle \int_0^1 \left|x^n-0\right|\,dx=\int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}$
    qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.

    Mais $f_n(1)=1$ pour tout $n$ entier naturel.

    Donc la suite de fonctions $(f_n)$ ne tend pas ponctuellement (point à point) vers la fonction nulle définie sur $[0;1]$.
  • issam greeny
    issam greeny
    convergence simple des suites de fonction (point par point)
  • issam greeny
    issam greeny
    Merci à vous tous ... le contre-exemple donné par Fin de partie montre que la réciproque n'est pas vraie en général.
    Merci :-)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Alors ton résultat est faux, il n'y a pas équivalence comme l'indique le contre-exemple ci-dessus.

    On n'a pas, en général, $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^b \left|f_n(x)-f(x)\right|\,dx=0$ implique que pour tout $x$ de $[a;b]$, $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=f(x)$
  • Dom
    Dom
    Non, on n’a pas l’équivalence.
    Un exemple t’est donné par Fin de partie.

    Sans hypothèse d’ailleurs on peut rendre fausses les deux implications.
    Par exemple, faut-il déjà que les fonctions soient intégrables...

    Dom

    Remarque :
    Ha ! Fin de partie, j’avais répondu en même temps que toi et sans voir ton message.
    Mais en effet, sans le savoir je m’étais aperçu que tu n’avais pas pris le bon décodeur ;-)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Dom:

    Sur le coup, j'ai bu les paroles du premier message et je ne me suis pas tellement interrogé sur la pertinence de cette affirmation.
    Puis, quand tu as posé une question, je me suis rendu compte que je ne devrais pas boire n'importe quoi.
    Puis, j'ai cherché un contre-exemple. Cela m'a pris quelques très longues minutes.
  • issam greeny
    issam greeny
    Si on remplace la convergence simple par la convergence presque sûre (?) l'exemple donné, ne sera pas utile comme contre-exemple.
    Vous pouvez m'en donner un autre ?
  • issam greeny
    issam greeny
    j'ai trouvé cette remarque , et je cherche un contre exemple95632
  • Dom
    Dom
    Difficile de dire à quoi pense l'auteur sur cette remarque sans voir le contexte.

    On peut par exemple avoir aucun des $f_n$ intégrable L1 ni $f$ intégrable L1 mais avoir $f_n-f$ intégrable L1.
    Est-ce cela ?
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Le contre-exemple classique d'une suite de fonctions $L^{1}$ convergeant dans $L^{1}$ vers $0$ mais ne convergeant pas vers $0$ pp est le suivant :

    prend le segment $[0,1]$, découpe le en deux, puis encore chacun des segments ainsi générés en deux et ainsi de suite.
    La suite des indicatrices des intervalles dyadiques ainsi construits (énumérés dans le bon sens) converge dans $L^{1}$ vers $0$ mais ne converge pas pp vers $0$ car prend la valeur $1$ infiniment souvent.
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