Intégration
dans Analyse
Bonjour à tous, s'il vous plaît est-ce qu'on a l'équivalence
Merci infiniment.
(je désigne par int l'intégrale).
(fn) converge vers f <==> int(|fn-f|) converge vers 0
La première implication, je n'ai pas de problème, mais la deuxième !!! Je me suis bloqué.Merci infiniment.
(je désigne par int l'intégrale).
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Réponses
De quelle convergence parles-tu quand tu dis « $(f_n)$ converge vers $f$ » ?
Cordialement
Dom
$\displaystyle \int_0^1 \left|x^n-0\right|\,dx=\int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}$
qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.
Mais $f_n(1)=1$ pour tout $n$ entier naturel.
Donc la suite de fonctions $(f_n)$ ne tend pas ponctuellement (point à point) vers la fonction nulle définie sur $[0;1]$.
Merci :-)
On n'a pas, en général, $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\int_a^b \left|f_n(x)-f(x)\right|\,dx=0$ implique que pour tout $x$ de $[a;b]$, $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=f(x)$
Un exemple t’est donné par Fin de partie.
Sans hypothèse d’ailleurs on peut rendre fausses les deux implications.
Par exemple, faut-il déjà que les fonctions soient intégrables...
Dom
Remarque :
Ha ! Fin de partie, j’avais répondu en même temps que toi et sans voir ton message.
Mais en effet, sans le savoir je m’étais aperçu que tu n’avais pas pris le bon décodeur ;-)
Sur le coup, j'ai bu les paroles du premier message et je ne me suis pas tellement interrogé sur la pertinence de cette affirmation.
Puis, quand tu as posé une question, je me suis rendu compte que je ne devrais pas boire n'importe quoi.
Puis, j'ai cherché un contre-exemple. Cela m'a pris quelques très longues minutes.
Vous pouvez m'en donner un autre ?
On peut par exemple avoir aucun des $f_n$ intégrable L1 ni $f$ intégrable L1 mais avoir $f_n-f$ intégrable L1.
Est-ce cela ?
prend le segment $[0,1]$, découpe le en deux, puis encore chacun des segments ainsi générés en deux et ainsi de suite.
La suite des indicatrices des intervalles dyadiques ainsi construits (énumérés dans le bon sens) converge dans $L^{1}$ vers $0$ mais ne converge pas pp vers $0$ car prend la valeur $1$ infiniment souvent.