Limite des fonctions à deux variables

mehdi · January 2020

Bonjour
Soit $(f_n)$ et $(g_n)$ deux fonctions réelles telles que la suite des fonctions à deux variables $x$ et $y,$ $f_n(x)g_n(y)$ converge simplement vers $h(x,y)$.
Est-ce que $h$ est nécessairement de la forme $h(x,y)=f(x)g(y)$ ?
Merci beaucoup.

[Pour $\LaTeX$, il faut encadrer les expressions mathématiques avec des $\$$. ;-) AD]

bd2017 · January 2020

Bonjour
Admettons que les fonctions sont définies sur $\R$.
Si pour un $x_0\in \R$ la suite $f_n(x_0)$ converge un nombre nombre non nul alors la réponse est oui.
En ajoutant les cas triviaux fonction nulles ... la réponse est donc oui en général.
Mais sinon je n'ai pas la réponse ... on est dans des cas rares mais méfiance.
Il serait bien de donner l'origine de ta question.

P. · January 2020

Pas si facile. Je traite plutôt le cas additif. Il s'agit de montrer que si $a_n $ et $b_n$ sont des fonctions réelles sur des ensembles $A$ et $B$ telles que pour tous $(x,y)\in A\times B$ alors $f(x,y)=\lim_n(a_n(x)+b_n(y))$ existe, dans ces conditions il existe deux fonctions $a(x)$ et $b(y)$ telles que $f=a+b.$

Pour le voir, fixons $(x_0,y_0)\in A\times B$ et posons $$
a(x)=f(x,y_0)-\frac{1}{2}f(x_0,y_0),\quad b(y)=f(x_0,y)-\frac{1}{2}f(x_0,y_0).$$ Alors $f(x,y)-a(x)-b(y)=0$ comme limite d'une suite nulle.

Je te laisse te débrouiller avec la version multiplicative du problème, qui est trivialement équivalente à cette version additive dans le cas où les fonctions sont toutes strictement positives. Si ce n'est pas le cas, des discussions assommantes permettent de s'y ramener.

side · January 2020

supp

mehdi · January 2020

Merci pour tous

Autre question svp
Est-ce que la borne inférieure des fonctions

Inf(f(x)g(y), h(x)k(y)) est de la forme p(x)q(y).

Merci beaucoup

Math Coss · January 2020

Question trop ambiguë ! En faisant comme si elle avait un sens, la réponse est évidemment oui ! On note $m$ la borne inférieure et on pose $p(x)=1$ et $q(y)=m$ (on ne sait pas qui sont $x$ et $y$ mais enfin...). On va donc supposer que tu cherches à prendre $p=f$ ou $p=h$ et, d'autre part, $q=g$ ou $q=k$.

La borne inférieure porte sur quoi ? Sur les deux réels écrits ? Alors c'est le plus petit des deux donc c'est $f(x)g(y)$ ou $h(x)k(y)$. Ou bien est-ce que $(x,y)$ peut varier ? Alors, non : par exemple, $x\in\left]0,1\right]$ et $y\in[0,1]$, $f(x)=h(x)=x$, $g(y)=k(y)=1$ : la borne inférieure est $0$, qui n'est pas de la forme $f(x)g(y)$.