Limite des fonctions à deux variables
Bonjour
Soit $(f_n)$ et $(g_n)$ deux fonctions réelles telles que la suite des fonctions à deux variables $x$ et $y,$ $f_n(x)g_n(y)$ converge simplement vers $h(x,y)$.
Est-ce que $h$ est nécessairement de la forme $h(x,y)=f(x)g(y)$ ?
Merci beaucoup.
[Pour $\LaTeX$, il faut encadrer les expressions mathématiques avec des $\$$. ;-) AD]
Soit $(f_n)$ et $(g_n)$ deux fonctions réelles telles que la suite des fonctions à deux variables $x$ et $y,$ $f_n(x)g_n(y)$ converge simplement vers $h(x,y)$.
Est-ce que $h$ est nécessairement de la forme $h(x,y)=f(x)g(y)$ ?
Merci beaucoup.
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Réponses
Admettons que les fonctions sont définies sur $\R$.
Si pour un $x_0\in \R$ la suite $f_n(x_0)$ converge un nombre nombre non nul alors la réponse est oui.
En ajoutant les cas triviaux fonction nulles ... la réponse est donc oui en général.
Mais sinon je n'ai pas la réponse ... on est dans des cas rares mais méfiance.
Il serait bien de donner l'origine de ta question.
Pour le voir, fixons $(x_0,y_0)\in A\times B$ et posons $$
a(x)=f(x,y_0)-\frac{1}{2}f(x_0,y_0),\quad b(y)=f(x_0,y)-\frac{1}{2}f(x_0,y_0).$$ Alors $f(x,y)-a(x)-b(y)=0$ comme limite d'une suite nulle.
Je te laisse te débrouiller avec la version multiplicative du problème, qui est trivialement équivalente à cette version additive dans le cas où les fonctions sont toutes strictement positives. Si ce n'est pas le cas, des discussions assommantes permettent de s'y ramener.
Autre question svp
Est-ce que la borne inférieure des fonctions
Inf(f(x)g(y), h(x)k(y)) est de la forme p(x)q(y).
Merci beaucoup
La borne inférieure porte sur quoi ? Sur les deux réels écrits ? Alors c'est le plus petit des deux donc c'est $f(x)g(y)$ ou $h(x)k(y)$. Ou bien est-ce que $(x,y)$ peut varier ? Alors, non : par exemple, $x\in\left]0,1\right]$ et $y\in[0,1]$, $f(x)=h(x)=x$, $g(y)=k(y)=1$ : la borne inférieure est $0$, qui n'est pas de la forme $f(x)g(y)$.
x et y varient