Calcul d'une limite

totem
totem
dans Analyse
Je cherche la limite en $\frac{\pi}{2}$ de : $$

\frac{1}{\frac{\pi}{2}-x} (\tan(x)- \frac{1}{\frac{\pi}{2}-x}) .

$$ Par le calcul je trouve $1/6$ (DL de $\tan(x)$ en $\frac{\pi}{2}$) mais un graphe ne donne pas du tout cela...?
Merci !

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    Soit $f$ ta fonction pour laquelle on effectue le changement de variable $h = x - \frac{1}{2} \pi$. On obtient si $h \to 0^-$
    $$f(h) =\frac{h\cot h -1}{h^2} = \frac{1}{h^2} \left( - \frac{h^2}{3} + O(h^4) \right)$$
    de sorte que $\displaystyle \lim_{x \to (\pi/2)^-} f(x) = - \frac{1}{3}$.
  • Amathoué
    Amathoué
    Bonsoir,

    Tu as une erreur de signe noix de totos il me semble, si bien que le $1$ ne s’annule pas.
    On a $f(h)=-\frac{1}{h^2}(2-\frac{h^2}{3}+o(h^4)$.
  • noix de totos
    noix de totos
    Non, je maintiens ce calcul.
  • Amathoué
    Amathoué
    En effet, excuse-moi.
  • totem
    totem
    @noix de totos: euh d'où vient ton $-1/3$:-S

    Mon erreur doit venir de là je pense d'ailleurs.
  • Amathoué
    Amathoué
    $x/x=1$ pour tout $x$ non nul totem...
  • totem
    totem
    Sans blague ?? non mais sous le $h^2$ je voulais dire...:-D
  • Amathoué
    Amathoué
    Si on ne peut plus plaisanter totem...
  • Amathoué
    Amathoué
    Mais puisque tu poses cette question maintenant, j’ai un doute sur ta phrase
    « DL de tan en $\pi/2$ ».
    Tu peux écrire ce que tu entends par là et le cas échéant ce que tu as fait?
  • totem
    totem
    J'ai fait ...de la m**de :-D j'ai écrit que $\tan(x) =_{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin(\pi/2-x)}+o(\pi/2-x)$ donc ça partait mal !
  • Amathoué
    Amathoué
    Totem,
    Aïe...en effet :-)
    Bon, c’est par les erreurs qu’on apprend...
    Sinon, tu sais par exemple que $\tan x= -\cot (x-\pi/2)$.
    Edit : je précise que je paraphrase noix de totos, sinon je vais me faire taper sur les doigts!
  • totem
    totem
    Non, je ne savais pas 8-)

    Mais cela dit ça marche aussi en faisant le quotient des DL : $$\tan(x) = \frac{\cos(\pi/2-x)}{\sin(\pi/2-x)}$$

    et $\cos(\pi/2-x)=_{\frac{\pi}{2}} 1-(\pi/2-x)^2 +o(\pi/2-x)$ etc...
  • noix de totos
    noix de totos
    @Totem : pour $h$ dans un voisinage de $0$ et $h \neq 0$
    \begin{align*}
    h \cot h &= \frac{h \cos h}{\sin h} = \frac{h \left( 1 - \frac{1}{2} h^2 + O(h^4) \right)}{h - \tfrac{1}{6} h^3 + O(h^5)} \\
    &= \frac{1 - \frac{1}{2} h^2 + O(h^4) }{1 - \frac{1}{6} h^2 + O(h^4)} \\
    & = \left( 1 - \tfrac{1}{2} h^2 + O(h^4) \right) \left( 1 + \tfrac{1}{6} h^2 + O(h^4) \right) \\
    & = 1 - \tfrac{1}{3} h^2 + O(h^4).
    \end{align*}

    @Amathoué : tu peux sans problème me paraphraser (si tu ne déformes pas mes propos, bien sûr), ça ne me pose aucun problème ! ;-)
  • totem
    totem
    @noix de totos : ok mais il faut penser à multiplier par $h$ le $cotan(h)$ ...8-)
  • noix de totos
    noix de totos
    Oui, car tu as un pôle en $0$ dans la cotangente, à cause du sinus, il faut donc "contrecarrer" ce pôle par un facteur $h$.

    D'où l'intérêt d'avoir d'abord tout mis au même dénominateur dans la fonction. D'ailleurs, voici quelques suggestions : dans ce type d'exercice,

    (i) Essayer de se ramener à une limite en $0$ ;

    (ii) Bien arranger sa fonction en factorisant et/ou mettant au même dénominateur les expressions en jeu ;

    (iii) Utiliser les développements limités en $0$ connus. En particulier lorsque l'on a une fraction, les DLs de $\dfrac{1}{1 \pm x}$ sont très utiles.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    le mieux est de poser $u = \frac{\pi}{2} - x$ avec u tendant vers 0

    ton expression devient : $\frac{1}{u.tan(u)} - \frac{1}{u^2}$ soit :

    $\frac{u - tan(u)}{u^2.tan(u)}$ dont on cherche la limite en 0

    on connait l'équivalent de u - tan(u) soit $-\frac{u^3}{3}$

    et donc ton expression est équivalente à $- \frac{u}{3tan(u)}$

    qui tend vers $\frac{-1}{3}$ par valeurs supérieures
    car $\frac{tan(u)}{u}$ tend vers 1 à droite

    cordialement
  • Poirot
    Poirot
    Cher jean lismonde, si on ne te connaissait pas, on pourrait presque croire que tu n'as lu aucune des réponses qui ont été données plus haut.

    Ah en fait si !
  • noix de totos
    noix de totos
    Ce n'est effectivement pas la $1$ère fois que je constate que certains intervenants (me) "passent" au-dessus de précédents messages pour ensuite redire strictement la même chose.

    Il va de soi que, lorsqu'un fil commence à prendre de la longueur, on en lit rarement tout le contenu. Mais je suggère que, lorsqu'on arrive après la pluie et que ce que l'on a à dire est, disons, basique, il vaut peut-être mieux vérifier avant de poster qu'il n'aurait pas déjà été dit d'une manière ou d'une autre...
  • Amathoué
    Amathoué
    Je me sens un peu visé...:-D.
    J’avais pourtant prévenu...
  • noix de totos
    noix de totos
    Non, ce n'est pas à toi que je pensais...
  • gerard0
    gerard0
    J'appelle ça "faire la mouche du coche". Mais parfois, c'est seulement l'envie de faire voir qu'on sait faire (ou pas, d'ailleurs !!).
    Et non, Amathoué, ce n'est pas ton ncomportement.

    Cordialement.
  • noix de totos
    noix de totos
    Moi, j'appelle ça faire le "saute-mouton"...

    Ça a peut-être pu m'arriver également de le faire...mais j'essaie d'éviter ça, ce n'est pas ce qu'il y a de plus agréable pour l'intervenant qui est ainsi zappé..

    En revanche, l'intervention plus haut d'Amathoué m'a semblé pertinente, surtout qu'il peut m'arriver, comme à tout le monde, de commettre des bourdes.
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