Un exercice contenant une exponentielle

Bonjour,
il faut utiliser la définition de l'exponentielle dans une algèbre de Banach puis justifier par passage à la limite que $\vert \vert e^A\vert \vert \leq e^{\vert \vert A \vert \vert}$ pour la continuité.
Pour la dérivabilité, encore la définition, il faut calculer $ \phi (t+h)- \phi (t) $ ....

Ahlam a écrit:

Désolée mais je n'ai pas compris ce que tu veut dire !

Eh bien c’est peut-être par là qu’il fallait commencer, c’est quoi la définition de $exp(A)$ ici?

Ah d’accord c’est défini comme cela dans ton cours?

Pour t’aider encore, tu dois trouver que pour tout réel $t$:
$F’(t)=2(Ae^{tA}x | e^{tA}x)$.

C’est n’importe quoi.

Rien qu’en regardant la fin:
$F’(t)$ est un endomorphisme???

Salut Ahlam,

Désolé, j’ai des journées un peu chargées en ce moment.
Comme je te l’ai dit, ta méthode précédente fonctionne si tu corriges ton erreur(que je t’ai indiquée!).
Tu écris que le nombre dérivé de $||e^{tA}x||^2$ en $t$ est $2||e^{tA}x||\times ||e^{tA}x||’$. Bon, acceptons la notation. C’est ok.
Mais je préfère noter $f :\mathbb{R}\to E, t\mapsto e^{tA}x$ et $g:E\to \mathbb{R}, u\mapsto ||u||$ de sorte que pour tout réel $t$, $g \circ f (t)=||e^{tA}x||$.
Notre nombre dérivé en $t$ de $t\mapsto ||e^{tA}x||^2$ s’écrit:
$F’(t)=2||f(t)|| \times (g \circ f)’(t)$.
La différentielle de notre composée en $t$ pour faire simple, c’est la formule:
$d_t (g\circ f)= d_{f(t)} g \circ d_t f$. C’est une application linéaire au passage, par définition d’une différentielle.
Bon, appliquons cette formule correctement en $t$.
$d_{f(t)} g$, c’est l’application linéaire $h\mapsto (\frac{f(t)}{||f(t)||} | h)$.
$d_t f$, c’est l’application linéaire $h \mapsto Ae^{tA}x h$.
Donc, $d_t (g\circ f)$, c’est l’application linéaire $h \mapsto (\frac{f(t)}{||f(t)||} | Ae^{tA}x h)$, qu’on peut écrire :
$h \mapsto (\frac{f(t)}{||f(t)||} | Ae^{tA}x) h$. Eh, oui, on ne peut sortir que des scalaires du crochet, pas des endomorphismes!
Par conséquent, $F’(t)=2 ||f(t)|| (\frac{f(t)}{||f(t)||} | Ae^{tA}x)$.
Le souci, c’est qu’il faut distinguer $x$ nul et $x$ non nul, c’est ch...t.
Je te laisse simplifier.

En revanche, je te conseille de relire ce que je t’ai proposé sur la dérivée d’un produit...