Fonction strictement monotone

Topotopo
Topotopo
dans Analyse
Bonsoir,

Comment montrer que $f$ est strictement monotone si et seulement si pour tout $x,y,z \in \mathbb{R}$, $f(y)\in ]\min(f(x),f(z)),\max(f(x),f(z)[$

Merci

Réponses

  • marsup
    marsup
    Tu peux corriger l'énoncé ? Parce que, là, ça ne marche pas pour $f:x\mapsto x$ (l'identité) !
  • Poirot
    Poirot
    Il faut rajouter une condition sur $x,y$ et $z$.
  • math89
    math89
    Oui x<y<z
    désolé
  • Dom
    Dom
    Ok.
    Soit $f$ strictement monotone et soient x, y, z dans le domaine de $f$ tels que : x<y<z.

    Alors :




    Réciproquement :
    Soit $f$ une fonction telle que pour tout x, y, z dans le domaine de $f$ vérifiant x<y<z entraîne $f(y) \in ...$

    Alors :
  • math89
    math89
    si f est strictement croissante alors $x<y<z \Rightarrow f(x)<f(y)<f(z)$ donc $f(y)\in ]f(x), f(z)[ $


    si f est strictement décroissante alors $x<y<z \Rightarrow f(x)>f(y)>f(z)$ donc $f(y)\in ]f(z), f(x)[ $

    donc $f(y)\in ]\min(f(x),f(z)), \max(f(x),f(z))[$

    c'est l'union des deux intervalles qui donnent ca ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu peux par exemple montrer que pour $a$, $b$, $c$ réels, \[
    (a<b\ \text{ou}\ a<c)\iff a<\max(b,c).\]
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