Dois-je utiliser la composée ?

tout est faux

Laissons la physique aux physiciens ;-)

Pour la partie gauche, la foncton $(x,y) \mapsto xy$ est une fonction de $\R^2 \to \R$, sa dérivée est donc un élément de $L(\R^2,\R)$, dont la matrice dans la base canonique est $[ y , x]$. La fonction $f$ est une fonction $\R \to \R$, sa dérivée est donc un élément de $L(\R,\R)$, canoniquement isomorphe à $\R$.
Par application de la formule de dérivée d'une composée, tu obtiens : $$

F_g'(x,y) = [y f'(xy), xf'(xy)]

$$ Le $DL_1$ en $(1,1)$ de $F_g$ est alors : $$

F_g(1+h,1+k)=f(1)+f'(1) \times h + f'(1) \times k +o(\|(h,k\|)

$$ A+
F.

PS: $F_g(x,y)=f(xy)$.

Par linéarité $F=F_g+F_d$ (partie gauche avec $f$ plus partie droite avec $g$), le calcul de $F_d'$ est en tous points similaires. La seule chose qui change est lorsque on dérive $(x,y) \mapsto \frac{x}{y}$.

A+

F.