Approximation

Bonjour,

Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f$ de $[0,1] \times [0,1]$ dans $\R$ telles que il existe $n \in \N^*$, $\psi$ une forme linéaire de $\R^n$ dans $\R$, et $\phi_1, \dots, \phi_n$ des formes linéaires de $\R^2$ dans $\R$, $g_1, \dots, g_n$ des fonctions continues de $\R$ dans $\R$, tels que, pour tout $x \in [0,1] \times [0,1]$, $f(x)=\psi((g_1 \circ\phi_1)(x), \dots, (g_n \circ \phi_n)(x))$.

Est-ce que, pour toute fonction $C^{\infty}$ $h$ de $[0,1] \times [0,1]$ dans $[0,1]$, et tout $\epsilon >0$, il existe $f \in E$ telle que, pour tout $x \in [0,1] \times [0,1]$, $|h(x)-f(x)| < \epsilon$ ?

Si la réponse est non, j'ai une deuxième question: est-ce que pour toute fonction $C^{\infty}$ $h$ de $[0,1] \times [0,1]$ dans $[0,1]$, et tout $\epsilon>0$, il existe $f \in E$ telle que la mesure de l'ensemble $\{x \in [0,1] \times [0,1] | (f(x)-1/2)(h(x)-1/2)<0 \}$ est inférieure à $\epsilon$ ? C'est-à-dire est-ce que l'on peut approcher $h$ par une fonction $f$ de $E$, telle que, pour tout $x$ de $[0,1]^2$, si $h(x)>1/2$, on a en général $f(x) > 1/2$ et, si $h(x)<1/2$, on a en général $f(x)< 1/2$ ?

Merci d'avance.