Équivalents d'intégrales (variable : borne)

totem
totem
dans Analyse
Bonjour
Équivalents en $+\infty$ de : $$

f(x)= \int_0^x e^{t^2} dt \qquad\text{et de}\qquad

g(x)= \int_0^x \frac{|\sin(t)|}{t} dt .

$$ La première je voulais faire une IPP en multipliant par $\frac{t}{t}$ mais ça ne marche pas en 0. Casser l'intégrale en 2 (en $x=1$) ?
La deuxième aucune idée...

Réponses

  • Guego
    Guego
    Pour la première, s'il y a un problème en $0$, coupe en 2. Le morceau de $0$ à $1$ sera négligeable, ce qui est intéressant est le morceau de $1$ à $+\infty$, et sur ce dernier, tu peux faire ton IPP.

    Pour le deuxième, encadre $x$ entre deux multiples de $\pi$, et cherche un équivalent de $\displaystyle \int_0^{n\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt$, en coupant par relation de Chasles en chaque multiple de $\pi$.
  • Guego
    Guego
    Sinon, autre idée pour le deuxième : pose $F(x) = \displaystyle \int_0^x |\sin(t)|dt$, commence par montrer que $F(x) = \dfrac{2}{\pi} x + O(1)$, puis sers-t-en pour trouver un équivalent de $g(x)$.
  • totem
    totem
    OK pour la première je trouve $f(x) \sim \frac{e^{x^2}}{2x}$.

    Soit $x\in [n\pi;(n+1)\pi]$.
    $F(x) = \displaystyle \int_0^x |\sin(t)|dt = \int_0^{n\pi} |\sin(t)|dt + \int_{n\pi}^x |\sin(t)|dt = n \int_{0}^{\pi} |\sin(t)|dt + \int_{n\pi}^x |\sin(t)|dt =2n + \int_{n\pi}^x |\sin(t)|dt $.
    Ensuite je sèche :-S
  • Poirot
    Poirot
    Bah le morceau d'intégrale qui te reste est borné, donc tu as ton équivalent !
  • totem
    totem
    Ah mais on a le droit de dire que $x\sim n\pi $ ? franchement je ne l'aurais pas osée celle-là !:-(
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Oui car $n:= \lfloor \frac{x}\pi \rfloor \sim \frac{x}\pi$.
  • totem
    totem
    D'accord !

    Bon ben je vais essayer de faire la même chose pour $g(x)$ maintenant...je suppose que c'est le même principe.(Mais à monavis ce sera moins simple !)
  • totem
    totem
    $$g(x)=\displaystyle \int_0^{x} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt =\displaystyle \int_0^{n\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt + \displaystyle \int_{n\pi}^x \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt = \displaystyle \int_0^{\pi} \dfrac{|\sin(nt)|}{t}dt + \displaystyle \int_{n\pi}^x \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt$$

    Après je suis bloqué...

    @Guego : l'autre piste dont tu parles (c'est bien ça ?) :

    $$g(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt = \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{0}^{\pi} \dfrac{|\sin(t+k\pi)|}{t+k\pi}dt=\sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{0}^{\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t+k\pi}dt $$
  • Math Coss
    Math Coss
    \[\int_0^\pi\frac{\sin u}{(n+1)\pi}\mathrm{d}u\le\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t=\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi+u}\mathrm{d}u\le\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi}\mathrm{d}u.\]
  • totem
    totem
    @MathCoss: j'ai regardé ceque tu as écrit, mais je ne comprends pas la partie gauch de ton inégalité ? La partie droite c'est bon.
  • Poirot
    Poirot
    Quand $n \pi \leq t \leq (n+1)\pi$, $\frac{1}{(n+1)\pi} \leq \frac{1}{t}$.
  • Chaurien
    Chaurien
    En continuant dans cet esprit de découpage et d'encadrement, on trouve : $g(x)= \int_0^x \frac{|\sin t|}{t} dt \sim \frac 2{\pi} \ln x$ quand $x \rightarrow + \infty$.
    Je pense que pour $0 \le \alpha <1$ on a de même : $g_{\alpha}(x)= \int_0^x \frac{|\sin t|}{t^{\alpha}} dt \sim \frac 2{\pi (1- \alpha)} x^{1-\alpha}$.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est un raccourci pour\[\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t=\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi+u}\mathrm{d}u\]et \[\int_0^\pi\frac{\sin u}{(n+1)\pi}\mathrm{d}u\le\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi+u}\mathrm{d}u\le\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi}\mathrm{d}u.\]
  • Guego
    Guego
    totem a écrit:
    @Guego : l'autre piste dont tu parles (c'est bien ça ?)

    J'en ai donné 2. Je ne sais pas laquelle est "l'autre" pour toi. Mais plus explicitement, il y avait soit dire $g(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt $ puis encadrer comme l'a fait MathCoss, soit commencer par montrer que $\displaystyle \int_0^x |\sin(t)| dt = \dfrac{2}{\pi}x + O(1)$, et faire une intégration par parties sur $g$ (en utilisant le fait que $|\sin(t)|=F'(t)$). Je pense que la deuxième méthode est plus simple.

    Généralisation du résultat : si $h$ est une fonction périodique, de valeur moyenne $m$ sur une période, avec $m\neq 0$, alors $\displaystyle \int_1^x \dfrac{h(t)}{t} dt \sim m\ln(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  • totem
    totem
    OK merci à vous je crois que c'est bon.
    Petit détail, moi j'ai raisonné sur $k$ et non sur $n$ pour la sommation, ça ne change rien ou presque (d'ailleurs je ne suis pas parti de $k=0 $ pour le membre de droite tiens), le terme $\ln(n)$ vient de l'équivalent de la série harmonique ?

    @AD: correction : c'est pas suis, c'est peux , voyons ! :-D
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