Équivalents d'intégrales (variable : borne)
Bonjour
Équivalents en $+\infty$ de : $$
f(x)= \int_0^x e^{t^2} dt \qquad\text{et de}\qquad
g(x)= \int_0^x \frac{|\sin(t)|}{t} dt .
$$ La première je voulais faire une IPP en multipliant par $\frac{t}{t}$ mais ça ne marche pas en 0. Casser l'intégrale en 2 (en $x=1$) ?
La deuxième aucune idée...
Équivalents en $+\infty$ de : $$
f(x)= \int_0^x e^{t^2} dt \qquad\text{et de}\qquad
g(x)= \int_0^x \frac{|\sin(t)|}{t} dt .
$$ La première je voulais faire une IPP en multipliant par $\frac{t}{t}$ mais ça ne marche pas en 0. Casser l'intégrale en 2 (en $x=1$) ?
La deuxième aucune idée...
Réponses
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Pour la première, s'il y a un problème en $0$, coupe en 2. Le morceau de $0$ à $1$ sera négligeable, ce qui est intéressant est le morceau de $1$ à $+\infty$, et sur ce dernier, tu peux faire ton IPP.
Pour le deuxième, encadre $x$ entre deux multiples de $\pi$, et cherche un équivalent de $\displaystyle \int_0^{n\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt$, en coupant par relation de Chasles en chaque multiple de $\pi$. -
Sinon, autre idée pour le deuxième : pose $F(x) = \displaystyle \int_0^x |\sin(t)|dt$, commence par montrer que $F(x) = \dfrac{2}{\pi} x + O(1)$, puis sers-t-en pour trouver un équivalent de $g(x)$.
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OK pour la première je trouve $f(x) \sim \frac{e^{x^2}}{2x}$.
Soit $x\in [n\pi;(n+1)\pi]$.
$F(x) = \displaystyle \int_0^x |\sin(t)|dt = \int_0^{n\pi} |\sin(t)|dt + \int_{n\pi}^x |\sin(t)|dt = n \int_{0}^{\pi} |\sin(t)|dt + \int_{n\pi}^x |\sin(t)|dt =2n + \int_{n\pi}^x |\sin(t)|dt $.
Ensuite je sèche :-S -
Bah le morceau d'intégrale qui te reste est borné, donc tu as ton équivalent !
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Ah mais on a le droit de dire que $x\sim n\pi $ ? franchement je ne l'aurais pas osée celle-là !:-(
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Bonjour,
Oui car $n:= \lfloor \frac{x}\pi \rfloor \sim \frac{x}\pi$. -
D'accord !
Bon ben je vais essayer de faire la même chose pour $g(x)$ maintenant...je suppose que c'est le même principe.(Mais à monavis ce sera moins simple !) -
$$g(x)=\displaystyle \int_0^{x} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt =\displaystyle \int_0^{n\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt + \displaystyle \int_{n\pi}^x \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt = \displaystyle \int_0^{\pi} \dfrac{|\sin(nt)|}{t}dt + \displaystyle \int_{n\pi}^x \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt$$
Après je suis bloqué...
@Guego : l'autre piste dont tu parles (c'est bien ça ?) :
$$g(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt = \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{0}^{\pi} \dfrac{|\sin(t+k\pi)|}{t+k\pi}dt=\sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{0}^{\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t+k\pi}dt $$ -
\[\int_0^\pi\frac{\sin u}{(n+1)\pi}\mathrm{d}u\le\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t=\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi+u}\mathrm{d}u\le\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi}\mathrm{d}u.\]
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Quand $n \pi \leq t \leq (n+1)\pi$, $\frac{1}{(n+1)\pi} \leq \frac{1}{t}$.
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En continuant dans cet esprit de découpage et d'encadrement, on trouve : $g(x)= \int_0^x \frac{|\sin t|}{t} dt \sim \frac 2{\pi} \ln x$ quand $x \rightarrow + \infty$.
Je pense que pour $0 \le \alpha <1$ on a de même : $g_{\alpha}(x)= \int_0^x \frac{|\sin t|}{t^{\alpha}} dt \sim \frac 2{\pi (1- \alpha)} x^{1-\alpha}$.
Bonne nuit.
Fr. Ch. -
C'est un raccourci pour\[\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t=\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi+u}\mathrm{d}u\]et \[\int_0^\pi\frac{\sin u}{(n+1)\pi}\mathrm{d}u\le\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi+u}\mathrm{d}u\le\int_0^\pi\frac{\sin u}{n\pi}\mathrm{d}u.\]
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totem a écrit:@Guego : l'autre piste dont tu parles (c'est bien ça ?)
J'en ai donné 2. Je ne sais pas laquelle est "l'autre" pour toi. Mais plus explicitement, il y avait soit dire $g(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t}dt $ puis encadrer comme l'a fait MathCoss, soit commencer par montrer que $\displaystyle \int_0^x |\sin(t)| dt = \dfrac{2}{\pi}x + O(1)$, et faire une intégration par parties sur $g$ (en utilisant le fait que $|\sin(t)|=F'(t)$). Je pense que la deuxième méthode est plus simple.
Généralisation du résultat : si $h$ est une fonction périodique, de valeur moyenne $m$ sur une période, avec $m\neq 0$, alors $\displaystyle \int_1^x \dfrac{h(t)}{t} dt \sim m\ln(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. -
OK merci à vous je crois que c'est bon.
Petit détail, moi j'ai raisonné sur $k$ et non sur $n$ pour la sommation, ça ne change rien ou presque (d'ailleurs je ne suis pas parti de $k=0 $ pour le membre de droite tiens), le terme $\ln(n)$ vient de l'équivalent de la série harmonique ?
@AD: correction : c'est pas suis, c'est peux , voyons ! :-D
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