Nature de la série

Gon · January 2020

Bonsoir, pouvez-vous me donner une indication sur pour terminer la nature de la série de terme général $\displaystyle \frac{(-1)^{n}}{\ln(n)+\sin(\frac{2n\pi}{3})}$.

Le critère des séries alternés ne me donne rien de bon, de même que celui d'Abel.
J'ai pensé à un développement asymptotique mais la fonction sin me pose des problèmes, j'ai voulu simplifier car pour $2n$ multiple de 3, on a bien 0.
Merci d'avance pour votre aide.

marsup · January 2020

On peut partir comme ceci : $$

(-1)^{n}\cdot \frac{1}{\ln(n)+\sin(\frac{2n\pi}{3})}
= (-1)^{n}\cdot \frac{1}{\ln(n)}\cdot
\Bigg(1+\frac{\sin(\frac{2n\pi}{3})}{\ln(n)}\Bigg)^{-1}.

$$ et développer le $(1+h)^{-1}$.

Calli · January 2020

Bonjour,
On peut séparer en 3 sommes suivant la valeur de $\sin(\frac{2n\pi}3)$.

marsup · January 2020

Ah oui Calli a raison. Mon truc ne va pas marcher.

Gon · January 2020

Ok merci @ marsup, je vais le faire.
@calli, comment arrives-tu à réécrire le terme général stp ?

malavita · January 2020

Suivant que $n$ soit congru à 0,1 ou 2 modulo 3 alors $\sin(n\frac{2\pi}{3})=...$ et tu te retrouves du coup avec "3 séries alternées".

Bonne soirée

F.

jean lismonde · February 2020

bonjour

ta série peut s'écrire :

$S= \Sigma_1^{+oo}(-1)^n[\frac{1}{ln(3n)} - \frac{2}{2ln(3n+1) + \sqrt{3}} +\frac{2}{2ln(3n + 2) - \sqrt{3}}]$

la convergence (implosive) de cette série alternée est évidente puisque ln(x) est monotone croissante

la détermination à la calculatrice de la limite nécessite de faire deux sommes pour n pair = 2k et ensuite pour n impair = 2k +1

pour k = 1000 j'obtiens pour la première somme 165,4361901.... et pour la seconde somme 164, 9117775...

et donc en faisant la différence nous obtenons une approximation de la limite = 0,5244...

la convergence de la série n'est pas très rapide mais nous avons déjà une approximation intéressante

cordialement

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