Équivalent suite

Je pense que gb a eu la grande bonne idée avec sa suite $v_n$, et tout me semble tourner autour de la valeur $1$ qui est la limite de cette suite si elle en a une.
Si $v_n \ge 1$ pour $n \ge n_0$ alors la suite $v_n$ est décroissante pour $ n \ge n_0$, et elle converge, et forcément vers $1$.
Si $v_n \le 1$ pour $n \ge n_0$ alors $ \frac{\sqrt {n-1}}{\sqrt{n}} \le v_n \le 1$ ; convergence encore vers $1$.
Mais si la suite $v_n$ enjambe gaiement la valeur $1$ à tout bout de champ... ?

Mon problème c'est que mon vieux TurboPascal hors d'âge me servait à conjecturer, justement dans ce type de problème, et il ne veut plus tourner sur les appareils modernes. Si quelqu'un pouvait m'expliquer comment en récupérer un, je lui vouerais une immense reconnaissance.

Encore bravo à gb, et bonne journée.
Fr. Ch.

Mes vieux neurones sont ankylosés.

Grand merci Amathoué, je vais regarder ça. Je reverrais avec plaisir ce bon vieux MS-DOS.

Bonjour,
J'espère que ce qui suit est exempt d'erreurs de calcul et établit la convergence de $(v_n)$.

Notons $ f :x \longmapsto \dfrac 12 (x+ \dfrac 1x), \quad s_n = \sqrt {\dfrac n {n+1}}.\quad$ Prouvons d'abord l'implication:
$$\forall n>1,\quad v_n \leqslant 1 \implies v_{n+1}\leqslant 1. \qquad (\star)$$
$ \forall x>0,\: f(x)\geqslant1.\:\:$ Ainsi: $s_{n-1} f(v_{n-1}) = v_n \leqslant 1\: $ entraîne que $\;s_{n-1} \leqslant v_n \leqslant 1\:$ puis, avec la décroissance de $f$ sur $]0;1]$:
$ \:s_n \leqslant v_{n+1} \leqslant\ s_n f(s_{n-1}).\quad $Or: $\Big( s_n f(s_{n-1}) \Big) ^2 = \dfrac {4n^2 -5n +1} {4( n^2-1)} <1\:$ d'où l'on déduit que $v_{n+1} <1 \:\:\square$
$\bullet$ Si $\forall n>1 ,v_n \geqslant 1$, alors $ \forall n>1,\: v_n> v_{n+1}:\:$ la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée, donc elle est convergente.
$ \bullet $ Si $\:\exists N>1$ tel que $\: v_N <1.\:\:$ Alors, d'après $(\star): \quad \forall n\geqslant N, \:\:\:\: v_n\leqslant 1\:$ puis $\quad s_{n-1} \leqslant v_n \leqslant 1,\:$ ce qui, avec $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} s_{n-1} =1,\:$ entraîne à nouveau la convergence de la suite $(v_n).$

$$ \boxed{ (v_n)\: \text {est convergente}, \quad \displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_n =1, \quad u_n \underset {n \to + \infty}{\sim} \sqrt n .}$$


P.S. Pour répondre à une question ultérieure de Etanche: au prix de calculs peu agréables on parvient aussi à: $\quad u_n \underset{+\infty}= \sqrt n - \dfrac 1 {2 \sqrt n} + o\left( \dfrac 1{\sqrt n} \right).$

La formule $u_{n+1}-\sqrt n=\dfrac{(u_n-\sqrt n)^2}{2u_n}$ permet d'obtenir un développement asymptotique à l'ordre $p+1$ de $u_n$ à partir d'un développement asymptotique à l'ordre $p$. Cela montre qu'il en existe à tout ordre.

Pour les calculer on peut utiliser la méthode des coefficients indéterminés dans la relation de définition de la suite. J'ai obtenu (avec Maple) :

$u_n=\sqrt n\left(1-\dfrac1{2n}+\dfrac3{16n^3}+\dfrac{37}{128n^4}+\dfrac{13}{128n^5}-\dfrac{893}{1024n^6}-\dfrac{6337}{2048n^7}-\dfrac{4627}{1024n^8}+o\left(\dfrac1{n^8}\right) \right)$.