Une équation fonctionnelle à 3 inconnues

Je crois que $g(\frac14(s^2-d^2)) = f(s)-h(d)$.
Donc il existe $\tilde f$ et $\tilde h$ définies sur $\R_+$ telles que $f(s) = \tilde f(s^2)$ et $h(d) = \tilde h(d^2)$.
Et donc $\tilde f(S)-\tilde h(T)=g((S-T)/4)$ ne dépend que de $S-T$.
Je n'ai pas encore terminé l'exercice, mais il me semble que $\tilde f(S+D)-\tilde f(S)$ ne dépendra plus de $S$, et que c'est une contrainte assez forte.

Soit $L$ une fonction $\Q$-linéaire de $\R$ dans $\R$, alors $f(x)=L(x^2)$, $g(x)=L(4x)$, $h(x)=L(x^2)$ est une solution.
En effet, $f(x+y)-h(x-y)=L((x+y)^2)-L((x-y)^2)=L(x^2+y^2+2xy)-L(x^2+y^2-2xy)=L(4xy)=g(xy)$.

Soit l'équation fonctionnelle: pour tout $x,y$ appartenant à $\R$, $f(x+y)=g(xy)+h(x-y)$.
En choisissant $y=0$, on trouve $f(x)=g(0)+h(x)$ pour tout $x$ appartenant à $\R$.
Donc pour tout $x,y \in \R$, $f(x+y)=g(xy)+f(x-y)-g(0)$
En choisissant $x=y=t/2$, on obtient $f(t)=g(t^2/4)+h(0)$ pour tout $t \in \R$.
En choisissant $x=0$, on trouve $f(y)=g(0)+h(-y)$, donc $h$ est paire, car $h(-y)=f(y)-g(0)=h(y)$ pour tout $y \in \R$.
Cela implique aussi que $f$ est paire.
Pour tout $x$ dans $\R$, en choisissant $y=1$, on obtient: $f(x+1)=g(x)+h(x-1)=g(x)+f(x-1)-g(0)$. En choisissant $y=-1$, on a $f(x-1)=g(-x)+f(x+1)-g(0)$. Donc la fonction qui, à $x$ appartenant à $\R$, associe $g(x)-g(0)$ est impaire.

Si $v \geq u \geq 0$,on pose $x=(v+\sqrt{v^2-u^2})/2$ et $y=(v-\sqrt{v^2-u^2})/2$. Alors $x+y=v$ , $xy=u^2/4$ et $x-y= \sqrt{v^2-u^2}$.
Donc on obtient $f(v)=g(u^2/4)+f(\sqrt{v^2-u^2})-g(0)$.
Donc $f(v)=f(u)+f(\sqrt{v^2-u^2})-g(0)-h(0)$
On considère la fonction $F$ définie sur $\R^+$ qui à $x$ associe $f(\sqrt{x})$. Alors, pour $v\geq u \geq 0$, $F(v^2)=F(u^2)+F(v^2-u^2)-g(0)-h(0)$.
On considère la fonction $M$ définie sur $\R^+$ par $M(x)=F(x)-g(0)-h(0)$ pour tout $x$, alors, pour tout $b\geq a\geq 0$, on a $M(b)=M(a)+M(b-a)$.
Donc pour tout $a,b \geq 0$, $M(a+b)=M(a)+M(b)$
Donc $M(0)=0$.
On définit la fonction $L$ de $\R$ dans $\R$ par $L(x)=M(x)$ si $x\geq 0$, et $L(x)=-M(-x)$ si $x \leq 0$.
On montre que $L$ est $\Q$-linéaire.

En effet, pour $b\geq 0$, $a\leq 0$, et $b+a \geq 0$ :
$M(b+a)+M(-a)=M(b+a-a)=M(b)$,
donc $M(b+a)=-M(-a)+M(b)$,
donc $L(b+a)=L(a)+L(b)$.

Si $b \geq 0, a \leq 0$ et $b+a\leq 0$ :
$M(-(b+a))+M(b)=M(-b-a+b)=M(-a)$,
donc $-M(-(b+a))=-M(-a)+M(b)$, donc $L(a+b)=L(a)+L(b)$.

Si $b\leq 0, a\leq 0$ et donc $a+b \leq 0$ :
$M(-(b+a))=M(-b-a)=M(-b)+M(-a)$,
donc $L(b+a)=-M(-(b+a))=-M(-b)-M(-a)=L(b)+L(a)$.

Donc $L$ est $\Q$-linéaire.

Si $v \geq 0$, $f(v)=F(v^2)=L(v^2)+g(0)+h(0)$
Si $v<0$, $f(v)=f(-v)=F((-v)^2)=L((-v)^2)+g(0)+h(0)=L(v^2)+g(0)+h(0)$.
Donc pour tout $v$, $f(v)=L(v^2)+g(0)+h(0)$

Si $v \geq 0$, $f(v)=g(v^2/4)+h(0)$, donc $g(v)=f(2 \sqrt{v})-h(0)=L(4v)+g(0)$.
Si $v<0$, comme $g-g(0)$ est impaire, $g(v)-g(0)=-g(-v)+g(0)=-L(-4v)+g(0)-g(0)=L(4v)$
Donc pour tout $v$, $g(v)=L(4v)+g(0)$.

Donc pour tout $v \in \R$, $h(v)=f(v)-g(0)=L(v^2)+h(0)$.