L'intégrale de Kurzweil-Henstock

ev · May 2021

Bonjour.

Je profite de la présence des balaises de l'intégration pour poser ma question.

J'ai une fonction $f$ dérivable à droite sur un intervalle $[a,b[$. Est-ce que $f^\prime_d$ est KH-intégrable sur $[a,c]$ avec $a<c<b$ ?

e.v.

ev · May 2021

Je relance.

Peut-on démontrer de façon simple/élémentaire, que si $ g $ est une fonction convexe sur $ ]a,b[ $,
\[ \forall (x,y) \in\, ]a,b[^2, \qquad \int_x^y g^\prime_d(t) \, \mathrm dt = \int_x^y g^\prime_g(t) \, \mathrm dt = g(y) - g(x) \quad?

\] Il va de soi que $ g^\prime_d $ et $ g^\prime_g $ sont croissantes donc intégrables et qu'elles diffèrent sur un ensemble au plus dénombrable, ce qui assure l'égalité des deux intégrales.

Que le paraclet soit profitable aux personnes concernées.
e.v.

[ Chez moi il apporte la flotte. ]

gebrane · May 2021

Bonjour ev, il semble que tu veux rédiger un document sur KH avec pleins de propriétés, c'est ça ?

ev · May 2021

Bonjour Gebrane.

Je cherche des exemples où K et H font mieux de Riemann. (Normal, à deux contre un).
Le mieux : des exemples comme le premier que j'ai proposé (bon, le tuyau était un pneu crevé) où l'intégrale n'apparait pas dans l'énoncé.

Amicalement,

e.v.

ev · June 2021

Têtu, moi ?
Dans l'excellent "Une année de colles en Math Sup MPSI" de l'excellent Eric on trouve l'exercice 23.7 page 575 (24.9 page 577 de la première édition).

Soit $ f \in \mathcal C_{[0,1]}^1 $. Montrer que
\[ \lim _{n \rightarrow+\infty} n\Big(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big)-\int_{0}^{1} f(x) d x\Big)=\frac{f(1)-f(0)}{2}.

\] Peut-on affaiblir l'hypothèse avec $ f $ dérivable sur $ [0,1] $ ?

Amicalement,
e.v.

[ C'est pas d'la pub, ça ? (...) Un lien, tu veux un lien ??? ]

Eric · June 2021

Je te remercie e.v. pour le compliment.

Comme le remarque Masayoshi Hata (Problems and solutions in real analysis, 1st ed., ex 5.7), on ne peut pas se contenter de la seule continuité (la fonction de Takagi donne un contre-exemple). De plus, la solution qu'il donne de l'exercice utilise l'uniforme continuité de $f'$ sur $[0,1]$, d'où l'hypothèse $C^1$ sur $f$. Peut-on ne pas utiliser l'uniforme continuité de $f'$ ?

ev · June 2021

Bonsoir Eric.
Ah, ça y est, je l'ai !
Avec tes notations :
\[ m_{i} :=\inf \left\{f^{\prime}(x): x \in\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right]\right\}
\] et
\[ M_{i} :=\sup \left\{f^{\prime}(x): x \in\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right]\right\}.
\] La fonction $ f^{\prime} $ est KH-intégrable sur $ [0,1] $, donc les
\[ \frac1{2n}\sum_{i=1}^{n} m_{i} \; \text{ et } \; \frac1{2n}\sum_{i=1}^{n} M_{i}
\] sont bien des sommes de Riemann qui convergent vers $ \displaystyle \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) d x
=\frac{f(1)-f(0)}{2} $, ...

Sauf qu'au départ, l'existence des $ m_{i} $ et $ M_{i} $ n'est pas assurée pour une fonction banalement dérivable.

Encorre rraté.
Bonne nuit,
Général Alcazar.

gebrane · June 2021

ev tu peux supposer de plus que f' est borné

ev · June 2021

Bon, il est temps de faire chauffer la babasse.

Je considère une fonction $ g $ définie sur $ ]0,1] $ par $ g(x) = x^7\sin\left( \dfrac\pi{x^4} \right) $ et $ g(0) = 0 $.
La fonction $ g $ est dérivable sur $ [0,1] $ et
$ f(x) := g'(x) = 7x^6\sin\left( \dfrac\pi{x^4} \right) - 4\pi x^2 \cos\left( \dfrac\pi{x^4} \right) $.
On a donc $ f $ dérivable sur $ [0,1] $ mais $ f' $ n'est pas continue en zéro.
De plus $ \displaystyle\int_0^1 f(t) \, \mathrm dt = \int_0^1 g'(t) \, \mathrm dt = g(1) - g(0) = 0 $.
Montrer que
\[ \lim_{n \rightarrow+\infty} n\Big(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big)-\int_{0}^{1} f(x) d x\Big)=\frac{f(1)-f(0)}{2} \] c'est montrer que
\[ \lim_{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big) =\frac{f(1)-f(0)}{2} = 2\pi. \]
Je programme le calcul de la somme $ \displaystyle\sum_{k=1}^{2^n} f\big(\frac{k}{2^n}\big) $ :

1 9.42477796076938
2 14.226450595563698
3 7.350862740000039
4 6.019044902834182
5 1.8439427218585056
6 2.810064602302168
7 9.932561699721935
8 14.554581778577052
9 8.900509033264624
10 5.283809207430888
11 7.242564057308822
12 13.335558623246783
13 1.0669089862686523
14 -1.1034015167778097
15 9.709071639906298
16 -3.7289133813154667
17 -7.8552827799027884
18 -4.487584324587491
19 5.283524333171092
20 8.388453305749046
21 -4.110394428691853
22 -6.473644277517529
23 -9.739125996295423
24 -9.338914315543567
25 -7.381176851526913

On voit que ce n'est pas un algorithme performant pour calculer $ 2\pi $.

Amicalement,

e.v.

ev · June 2021

La question se pose de savoir si la suite est erratique ou si c'est le programme qui n'est pas assez robuste.

Le même programme avec $\quad g(x) = x^5\sin\left( \dfrac\pi{x} \right) $ et $ g(0) = 0 $.
La fonction $ g $ est dérivable sur $ [0,1] $ et
$ f(x) := g'(x) = 5x^4\sin\left( \dfrac\pi{x} \right) - \pi x^3 \cos\left( \dfrac\pi{x} \right) $.
On a donc $ f $ dérivable sur $ [0,1] $ et $ f' $ est continue en zéro cette fois.
On est dans les clous de l'exercice d'Eric.

On a toujours $\quad \displaystyle\int_0^1 f(t) \, \mathrm dt = \int_0^1 g'(t) \, \mathrm dt = g(1) - g(0) = 0 $.
Montrer que \[ \lim_{n \rightarrow+\infty} n\Big(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big)-\int_{0}^{1}
f(x) d x\Big)=\frac{f(1)-f(0)}{2} \] c'est montrer que
\[ \lim_{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big) =\frac{f(1)-f(0)}{2} = \frac \pi2.

\] Le programme de calcul de la somme $\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{2^n} f\big(\frac{k}{2^n}\big) $ donne :

1 2.7488935718910694
2 1.992406634964477
3 1.8166491899836257
4 1.684491140957376
5 1.633187854071759
6 1.6066405167840734
7 1.586102159137793
8 1.5788455952321492
9 1.574775892133999
10 1.572923205725059
11 1.5717870189388443
12 1.5713164468044547
13 1.5710445270814772
14 1.5709214943285335
15 1.5708591340540443
16 1.5708278257050523
17 1.5708120660119538
18 1.5708042688790544
19 1.5708002900960398
20 1.5707983276866053
21 1.5707973241639022
22 1.5707968388080995
23 1.5707965811938833
24 1.570796562029134
25 1.5707966063577015

Ce n'est pas flamboyant comme convergence, mais on retrouve $ \frac \pi2 $.
Amicalement,

e.v.

ev · January 2022

Un exercice (classique ?)

Soit $ f $ une fonction dérivable de $ \R $ dans $ \R $.

On suppose que $ \lim\limits_{x\to+\infty} (f'(x)+f(x)) = \ell \in \R $.

Démontrer que $ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell $.

Amicalement,

e.v.

gebrane · January 2022

Bonjour @ev, ton exercice est un classique de colle et permet de voir le danger de la règle de l’Hôpital

Foys · January 2022

L'exercice est bien classique (il est récurrent en taupe sauf erreur). Pour les inégalités (lorsque on a une fonction dérivable, même si l'intégration de Lebesgue ne s'applique plus), l'intégrale de HK n'apporte pas plus que l'inégalité des accroissements finis (même si elle guide les calculs). La difficulté de cet exercice est surtout de penser à la bonne fonction auxiliaire.

gebrane · January 2022

@Foys l'exercice se fait avec les epsilons

Foys · January 2022

@gebrane

Je passe par l'édude de la fonction $x\mapsto e^{-x} g'(x)$ où $g(x)=e^xf(x)$ pour tout $x\in \R$. Je me demande s'il est possible d'éviter cette astuce.

gebrane · January 2022

@Foys

On écrit la définition que f+f' tend vers l, on multiplie les deux inégalités par l'expo, on intègre et voilà.

Chaurien · January 2022

Attention Gebrane, pour intégrer il faut que la dérivée soit intégrable, disons que la fonction soit $\mathcal C^1$.

gebrane · January 2022

@Chaurien ah oui c pas C^1

Chaurien · January 2022

Tout dépend du type d'intégrale. Pour KH, toutes les dérivées sont intégrables, mais ce n'est pas (encore ?) dans les programmes d'enseignement.

gebrane · January 2022

@ev je viens de vérifier dans mes archives. On suppose que f est C^1; donc ce n'est pas un classique de colle, je suis désolé pour ma réponse hâtive. Je suis vraiment nul de répondre sans faire attention aux hypothèses.

ev · January 2022

Je vais essayer de montrer que la fonction auxiliaire apparaît naturellement.

On commence par supposer que $ \ell = 0 $. On pose $ \varepsilon(x) := f'(x)+f(x) $.
La fonction $ f $ est solution de l'équation différentielle
\[ y' + y = \varepsilon(x). \]
On résout l'équation homogène : $ y(x) = k \mathrm e^{-x} $.
On résout l'équation par la méthode de la variation de la constante :
\[ \begin{array}{lrcl}
&y'(x) &=& k'(x)\mathrm e^{-x} - k(x)\mathrm e^{-x}\\
\text{donc} & k'(x)\mathrm e^{-x}&=& \varepsilon(x)\\
\text{soit} & k'(x)&=& \varepsilon(x)\mathrm e^{x}.
\end{array} \]
Or on a \[ \forall x \in \R, \; \varepsilon(x)\mathrm e^{x} = \left( f'(x)+f(x) \right)\mathrm e^{x} = \dfrac{d}{dx} \left( f(x) \mathrm e^{x}\right). \]
La fonction $ k' : x \longmapsto \varepsilon(x)\mathrm e^{x} $ est une dérivée, elle est donc intégrable (KH) sur tout segment $ [x_0~,~x] $ et on a
\[ k(x) - k(x_0) = \int_{x_0}^x \varepsilon(t)\mathrm e^{t} \, \mathrm dt. \]
Il est temps de se souvenir que $ \lim\limits_{x\to+\infty} \varepsilon(x) = 0 $.
Soit $ \varepsilon > 0 $. Il existe $ A \in \R $ tel que $ \forall x \geqslant A $, on a $ \left \vert \varepsilon(x) \right\vert \leqslant \varepsilon $. On en déduit qu'en prenant $ x \geqslant A $,
\[ \left \vert k(x) - k(A) \right\vert \leqslant \int_{x_0}^x \mathrm e^t \varepsilon \, \mathrm dt \leqslant \varepsilon \left( \mathrm e^x - \mathrm e^A \right) \leqslant\varepsilon \mathrm e^x. \]
On en déduit que $ \lim\limits_{x\to+\infty} \left( k(x) - k(A) \right)\mathrm e^{-x} = 0 $.
Comme $ \lim\limits_{x\to+\infty} k(A)\mathrm e^{-x} = 0 $, on en déduit que $ \lim\limits_{x\to+\infty} k(x)\mathrm e^{-x} = 0 $, ce qui permet de conclure puisque $ k(x)\mathrm e^{-x} = f(x) $.

Dans le cas général, on considère la fonction $ \tilde f := f - \ell $ et on applique la méthode du jaguar casqué.

Amicalement,

e.v.

gebrane · January 2022

Rendons la tache ardue
Soit $ f $ une fonction n fois dérivable de $ \R $ dans $ \R $.
On suppose que $ \lim\limits_{x\to+\infty} (f(x)+f'(x)+...+f^{(n)}(x)) = \ell \in \R $.
Démontrer que $ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell $.
Amicalement,
geb

Foys, je pense que tu prends $g(x)=e^x ( f(x)-l)$,

gebrane · January 2022

@ev On peut simplifier ta méthode. Soit $f+f'=g$, puisque que $g$ est KH intégrable, on peut appliquer la méthode de la variation des constantes qui dit que $$\forall x\in\R,\quad f(x)=f(0)e^{-x}+e^{-x}\int_0^x e^t g(t) dt,$$

$ g-l$ tend vers $0$ en $+ \infty$, donc $\forall \epsilon >0$, il existe $A>0$, $\forall x\geq A,\ |g(x)-l|<\epsilon$. On veut démontrer que $$\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\int_0^x e^t g(t) dt=l,$$ on a $\displaystyle e^{-x}\int_0^x e^t g(t) dt= e^{-x}\int_0^x e^t (g(t)-l) dt +l(1-e^{-x})=e^{-x}\int_A^x e^t (g(t)-l) dt +e^{-x}\int_0^A e^t (g(t)-l) dt+l(1-e^{-x}).$ Il suffit de démontrer que $$\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\int_A^x e^t (g(t)-l) dt=0.$$

$\forall x>A$ on a $|e^{-x}\int_A^x e^t (g(t)-l) dt|\leq e^{-x}\int_A^x e^t \epsilon dt=(1-e^{-(x-A)})\epsilon$, donc $$\limsup_{x\to+\infty} |e^{-x}\int_A^x e^t (g(t)-l) dt| \leq \epsilon.\quad CQFD$$

J'ai une preuve utilisant la deuxième formule des accroissements finis, si cela intéresse quelqu'un, je peux la rédiger pour voir si c'est juste.

gebrane · January 2022

Dans mon raisonnement j'ai utilisé sans le prouver que si g est KH intégrable alors $e^x g$ est aussi KH intégrable. peut être j'ai commis une bêtise car je me rappelle que @Math Coss avait donné un contre de la non intégrabilité KH du produit $hg$ si $h$ est continue et $g$ KH.

ev · January 2022

Bonjour Gebrane.

Je ne suis pas convaincu que ta méthode soit plus simple, ni même qu'elle soit différente...

Tu as l'intégrabilité de $e^xg$ dans la mesure où $g$ est minorée -- peut-être pas à partir de zéro, mais au moins à partir de ton $A$.

Amicalement,

e.v.

gebrane · January 2022

@ev vois-tu comment appliquer la méthode de foys avec la fonction auxiliaire expo. J'ai une preuve avec AF.

ev · January 2022

Bonjour Gebrane.

Pour ton exercice je propose le plan suivant :

1/ On démontre par récurrence sur $ n \in \N $ la proposition $ \mathcal P_n $ : pour toute fonction $ f $ , $ \; n $ fois dérivable sur $ R $, pour tout $ a_1, \ldots, a_n) \in \R_+^* $, $ \; \lim\limits_{x\to+\infty} \left( f(x) + a_1f'(x) + \ldots + a_nf^{(n)}(x) \right) = \ell \Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell $.

2/ Pour démontrer $ \mathcal P_n \Longrightarrow \mathcal P_{n+1} $, on commence par étudier le cas des suites $ 1 < a_1 < \ldots < a_{n+1} $.

Amicalement,

e.v.

gebrane · January 2022

Bon, je dois revoir mon propre exercice à la baisse car c'est faux pour n>3 ( Prendre n=4 et f(x)=cos(x))

Je me contente donc de l'exercice suivant et je crois capable le traiter

Soit $ f $ une fonction 2 fois dérivable de $ \R $ dans $ \R $.
On suppose que $ \lim\limits_{x\to+\infty} (f(x)+f'(x)+f''(x)) = \ell \in \R $.
Démontrer que $ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell $.

Pourquoi je commets tant de bêtises surtout dans ce fil de @ev, mystère !