Équation différentielle $f'(t)=f(t-t^2)$

michal · February 2020

Bonjour

J'ai rencontré l'équation différentielle $f'(t)=f(t-t^2)$ dans plusieurs exercices. Est-ce quelqu'un aurait des références d'un bouquin ou d'un article où cette équation est étudiée ?

Merci d'avance, Michal.

michal · February 2020

À défaut de références, quelques mots sur ce que j'essaie de faire...

Je voulais essayer de trouver une solution développable en série entière $f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k$. Alors :
\begin{align*}
f'(x)&=\sum_{k=1}^{+\infty} ka_kx^{k-1}=\sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)a_{k+1}x^{k} &\text{et} \\

f(x-x^2)&=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x^2)^k=\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^{k} a_k \binom ki (-1)^i x^{k+i}

\end{align*} On pose $n=k+i$ et on intervertit les sommes : $$

f(x-x^2)=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{n/2 \leqslant k\leqslant n} a_k \binom k{n-k} (-1)^{n-k} x^{n}

$$ On en déduit que : $$

\forall n\in \N,\quad
a_{n+1}=\frac{1}{n+1} \sum_{n/2 \leqslant k\leqslant n} a_k \binom k{n-k} (-1)^{n-k}

$$ À présent, je cherche une majoration de la forme $|a_n|\leqslant C^n$ pour obtenir un rayon de convergence non nul... mais sans succès.

YvesM · February 2020

Bonjour,

Si tu calcules $f(x)=a+b x+c x^2+ d x^3...$ et tu identifies tu tombes sur $b=a, c=a/2, c=-a/6, d=-7a/24...$ (je te laisse vérifier et corriger si nécessaire).

On a tous les coefficients plus petits que $|a|$ en valeur absolue. Une petit récurrence pour le démontrer... non ?

michal · February 2020

@ YvesM : Non, a priori, ça ne marche pas. Avec un logiciel de calcul formel, si $a=1$, j'ai obtenu que le début de $f$ est :

$\frac{7352057\,{x}^{11}}{5702400}-\frac{3494191\,{x}^{10}}{3628800}+\frac {106961\,{x}^{9}}{362880}+\frac {7393\,{x}^{8}}{
40320}-\frac {1553\,{x}^{7}}{5040}+\frac {97\,{x}^{6}}{720}+\frac {17\,{x}^{5}}{120}-\frac {7\,{x}^{4}}{24}-1/6\,{x}^{3}+1/2\,{x}^{2}+x+1$

YvesM · February 2020

Bonjour,

Quelle sont les conditions initiales ?

Que cherches-tu à établir ?

Math Coss · February 2020

Si on écrit le coefficient de $x^k$ sous la forme $a_k/k!$, la suite des $a_k$ commence par \[1, 1, 1, -1, -7, 17, 97, -1553, 7393, 106961, -3494191, 51464399, -13234631\dots\]et cette suite n'apparaît pas dans l'OEIS.

Anna E · February 2020

Quel est l'énoncé général de ce problème? Son contexte avec les conditions initiales?

évidemment: f'(0)=f'(1) = f(0)

ensuite: pour tour réel x: f'(1/2+x) = f'(1/2-x) = f ((1/2-x)(1/2+x))

Pour aller plus loin, d'autres informations?

michal · February 2020

On va dire que la condition initiale est $f(0)=1$

Anna E · February 2020

Ajoutons f(0)=1

Et l'expression générale de f, aucune indication?

YvesM · February 2020

Bonjour,

Si $f(t)\sim t^a,(t\to +\infty)$ avec $a\in \C$ alors $f(t)\sim {1\over t},(t \to +\infty).$

Anna E · February 2020

Merci.

Donc, pourrait-on visualiser les développements antérieurs ?

De mon côté f~cosh.

YvesM · February 2020

Bonjour,

Je démontre que, pour tout $t$ réel, la fonction $f$ solution est nécessairement de cette forme : $\displaystyle f(t)=a+\phi(t,1-t)$ avec $a$ un réel quelconque et $\phi$ une fonction antisymétrique quelconque.

Pour tout $t$ réel, $\displaystyle f’(t)=f(t-t^2)$,
et donc $\displaystyle f’(1-t)=f(t(1-t))=f’(t)$,
et donc $\displaystyle {d\over dt }(f(t)+f(1-t))=0$,
et $\displaystyle f(t)+f(1-t)=2 a$ avec $a$ un réel (par intégration).

La solution la plus générale de cette équation fonctionnelle est $\displaystyle f(t)=a+\phi(t,1-t)$ avec $\displaystyle \phi(u,v)=-\phi(v,u)$ une fonction $\phi$ antisymétrique quelconque.

Math Coss · February 2020

Voici en bleu un candidat de graphe pour la solution sur $[0,1]$ telle que $f(0)=1$. C'est particulièrement peu spectaculaire d'ailleurs. Je trouve $f(1)\simeq2{,}1817$ (avec une méthode naïve à la Euler explicite). Je superpose le graphe de la solution analytique $t\mapsto\sum_{n=0}^5a_nt^n$ calculée par Michal (que j'ai recalculée plus tôt). (En ajoutant plus de termes, la somme orange semble diverger de la solution bleue quand on s'approche de $1$. Je verrais bien un rayon de convergence égal à $1$.)

Pour $t<0$ ou $t>1$, je ne sais pas trop comment procéder parce que $t-t^2<t$ si $t<0$, ce qui me bloque, et $t-t^2<0$ si $t>1$, ce qui me bloque de l'autre côté. 96464

Math Coss · February 2020

Rectification : voici les premières valeurs de $a_{100k}$ ($0\le k\le 10$) :

[1.00000000000000,
 -2.41697866205886e71,
 -6.05096821636047e194,
 -7.35169978350411e335,
 -4.97893484767493e489,
 5.22580305586893e652,
 -1.24799851011593e823,
 -1.48711844322265e998,
 3.81326173126314e1181,
 1.27854759212225e1368,
 5.00204349731108e1558]

Ça semble exploser carrément ! (Pour comparaison, $1000!$ est de l'ordre de $10^{2500}$.)

Said Fubini · February 2020

Je pense que la solution est développable au voisinage de 1 et le rayon de convergence est 1

YvesM · February 2020

Bonjour,

Si elle est développable au voisinage de $1$ alors elle l'est au voisinage de $0$ puisque $f(t) + f(1-t)=2 f(1/2)$ pour tout $t.$

Said Fubini · February 2020

Bonsoir,
@YvesM, non ! , la fonction inverse est développable au voisinage de 1 mais pas au voisinage de 0

Math Coss · February 2020

Certes mais la fonction inverse n'est pas solution d'une équation fonctionnelle de ce genre.

Par ailleurs, vu la croissance des mille premiers coefficients, je ne parierais pas que le rayon de convergence est $1$ – au contraire, en fait.

Said Fubini · February 2020

Formellement ,on peut toujours avoir, $\sum _0^{\infty}b_n(t-1)^n=\sum _0^{\infty}a_nt^n$ avec la première rayon de convergence 1 et la dernière 0 (série divergente)
@Math Coss
je ne sais pas calculer numériquement les $b_n$ : pourrais tu donner les premiers termes : pour infirmer ma conjecture

Math Coss · February 2020

D'après l'équation fonctionnelle, $b_n=\pm(-1)^na_n$ pour $n\ge1$, non ?

Said Fubini · February 2020

je ne vois pas pourquoi ?

YvesM · February 2020

Bonjour,

1. Je ne conteste pas ce que tu écris sur le rayon de convergence. Je ne comprends pas. Mais bon. Le problème est de trouver une solution.

Il est facile d’établir que, pour tout $t$, $\displaystyle f(t)+f(1-t)=2f(1/2)$. Dans ces conditions, comment un développement en $1$ peut exister alors qu’il n’existe pas en $0$ ?

2. J’ai essayé mille trucs et je n’ai pas trouvé.

On se ramène à trouver une solution du problème (classique et bien posé) :
$\displaystyle f(t)=0,t\leq 0$ et $\displaystyle f’(t)=f(t-t^2), 0\leq t\leq 1/2$ et, pour $t\geq 1/2$ on utilise la symétrie $\displaystyle f(t)+f(1-t)=2f(1/2)$ pour tout $t.$

Des théorèmes généraux sur ce type d’équation avec retard non constant ne donnent que l’existence d’une solution.

Said Fubini · February 2020

@YvesM , Ton raisonnement est basé sur le fait : que si $f$ est définie sur un ouvert connexe contenant 0 et 1 ,est DSE au voisinage de 1 alors elle l'est au voisinage de 0 ? non ?

YvesM · February 2020

Bonjour,

Non.

Mon raisonnement est :
puisque $f(t)=2f(1/2)-f(1-t)$ pour tout $t$
alors si le membre de gauche est développable en $1$ avec un rayon de convergence $r$
le membre de droite est développable en $0$ avec ce même rayon de convergence.

Est-ce faux ?

Said Fubini · February 2020

oui c'est faux : quand on change le voisinage , la série change et la série peut diverger
Mais quand on reste dans le disque ouvert de convergence , OK

Math Coss · February 2020

Oui mais bon quand même.

Supposons que la série entière $\sum a_nt^n$ qui donne une solution formelle de l'espèce d'équation différentielle et qui a un terme constant égal à $1$, bref, la série décrite par Michal ici, ait un rayon de convergence $r$ non nul. Soit $x$ dans l'intervalle $\left]1-r,1\right]$, c'est-à-dire que $t=1-x$ est dans le disque de convergence de $\sum a_nt^n$. On a alors (en notant $a=f(1/2)$), comme l'a montré YvesM : \[f(x)=2a-f(1-x)=2a-f(t)=2a-\sum_{n\ge0}a_nt^n=2a-1+\sum_{n\ge1}(-1)^na_n(x-1)^n,\]où la série converge bien. On en déduit que $f$ est DSE au voisinage de $1$ avec un rayon au moins égal à $r$. En vice-versant, on voit que le rayon est exactement $r$ et que les coefficients $(b_n)$ du développement au voisinage de $1$ s'obtiennent simplement par $b_n=(-1)^na_n$.

À vrai dire, je parierais maintenant que le rayon de convergence est nul.

YvesM · February 2020

Bonjour,

@Math Coss : Est-ce que ton logiciel peut calculer la solution sur $[0,1/2]$ avec $f’(0)=f(0)=0$ et $f(t)=0, t\leq 0$ ? La valeur en $1/2$ peut être imposée à $1/2=f(1/2).$

Math Coss · February 2020

Je ne vois pas trop ce qui pourrait faire décoller une solution qui part de $0$ à vitesse nulle.

En tout cas, dans le calcul très naïf que je fais, rien ne se passe (la solution est nulle partout).

def L(N,ini=1):
    res = [(0,ini)]
    def f(x):
        l = floor(N*x)
        if N*x-l<1e-8:
            return res[l][1]
        else:
            return (N*x-l)*res[l][1]+(l+1-N*x)*res[l+1][1]
    for k in range(N):
        res.append(((k+1)*1./N,res[-1][1]+1./N*f(k/N-k^2/N^2)))
    
    return res

michal · February 2020

Bonjour,

Si je suppose que $f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k$ et que le rayon de convergence de la série entière est $R>0$. Alors le rayon de convergence de la série dérivée $\sum_{k=0}^{+\infty} ka_k x^{k-1}$ est aussi $R$. Soit $R'$ le rayon de convergence du développement en série entière de $f(x-x^2)$, qui doit être égal à $R$. Je ne sais pas s'il y a moyen de trouver $R'$ en fonction de $R$, mais si oui, on a peut-être notre contradiction...

Math Coss · February 2020

Je doute fortement. Par exemple, si $f(x)=1/(1-x)$, le rayon est $1$ alors que le rayon de $f(x-x^2)$ est strictement plus grand.

michal · February 2020

Justement, le fait que le rayon est inchangé vient du fait que $f'(x)=f(x-x^2)$...

[Utilisateur supprimé] · February 2020

Par curiosité, dans quels types d'exercices as-tu vu apparaître cette équation ? Cela pourrait donner un peu plus de pistes ou un contexte.

michal · February 2020

Math Coss écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1936454,1942538#msg-1942538
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Euh... il n'est pas le même ?

michal · February 2020

Polka écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1936454,1942554#msg-1942554
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Pour le contexte, je n'ai aucune idée...
Pour l'exo, il y avait celui-ci.

Soit $E$ l'ensemble des fonctions réelles $g$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'intervalle $[0,1]$ et telles que pour tout $x\in [0,1]$ on ait $$
g^{\prime}\left( x\right)=g\left( x-x^{2}\right).
$$ Considérons l'application $\phi:\ E\rightarrow\mathbb{R},\ g \mapsto g\left(0\right)$.
1. Montrer que $E$ est un $\mathbb{R}-$espace vectoriel et que $\phi$ est une application linéaire.
2. Dans cette question on va montrer que $\phi$ est injective. Pour cela on montre que $\ker \phi=\{0\}$. Soit $g\in\ker\left( \phi\right)$. Notons : $$

M=\sup_{x\in[ 0,\frac{1}{4}] }\left\vert g\left( x\right) \right\vert.

$$ a) Montrer que : $\forall x\in [0,1],\quad |g'(x)|\leqslant M.$
En déduire : $
\forall x\in [0,1],\quad \left\vert g\left( x\right) \right\vert \leqslant Mx.$
b) En déduire que $M=0$ puis que $g$ est la fonction nulle sur $[0,1]$.
3. Majorer la dimension de $E$.

Math Coss · February 2020

Je rectifie mon exemple : pour $f(x)=1/(1+x)$, le rayon est $1$ ; pour $f(x-x^2)$, il est de $\dfrac{\sqrt{5}-1}2$.

Équation différentielle $f'(t)=f(t-t^2)$

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