Peut-on simplifier cette expression

Bonjour,

Quelle difficulté rencontres-tu ?

\begin{align*} \sqrt{1-x^2} &= \sqrt{1-\sin^2t} = \dots \\ 2x\sqrt{1-x^2} &= \dots \\ \dots \end{align*}

La fonction arc cosinus est à valeurs dans \([0,\pi]\).

On sait dans quel intervalle vit \(t\).

Il faut effectivement définir \(k\) en fonction de \(t\) pour obtenir une valeur de \(y\) appartenant à \([0,\pi]\).

Topotopo écrivait:

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mais si j'impose a $3\pi/2+2k\pi <\pi $ et $-\pi/2+2k\pi>0$ je trouve une contradiction

---

Je ne vois pourquoi imposer ces conditions.

La question est de déterminer \(k\) entier en fonction de \(t\) pour avoir :
\[0 \leqslant \frac{\pi}2-2t+2k\pi \leqslant \pi\]

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1929348,1929784#msg-1929784

Il faudrait revoir le calcul de \(y\).

On reprend du début avec :
\begin{align*} y &= \arccos(2x\sqrt{1-x^2}) \in [0,\pi] & t &= \arcsin x \in [-\pi/2,\pi/2] \end{align*}
dont on déduit:
\[\cos y = cos \left( \frac{\pi}{2} - 2t\right)\]

La question à se poser est : à quel intervalle \(\frac{\pi}{2} - 2t\) appartient-il ?

D'après la réponse, on en déduit \(y\).

C'est moi Topotopo:

Je ne sais pas comment faire

Je n'arrive pas a ouvrir mon compte par mon portable

s'il vous plaît dites moi comment faire un indice je ne vois pas comment trouver y

Un petit dessin sur un cercle trigonométrique suffit à déterminer l'unique solution dans \([0,\pi]\) de l'équation \(\cos y = \cos a\),
— si \(a\in[-\pi/2,0]\) ;
— si \(a\in[\pi,3\pi/2]\).

On utilise ensuite ce résultat pour \(a= \frac{\pi}{2} - 2t\).

Il n'y a rien de bien sorcier.

Si \(a\) est dans \([\pi,3\pi/2]\) la solution de l'équation \(\cos y = \cos a\) dans \([0,\pi]\) est :
— \(a\) ?
— \(a+2\pi\) ?
— \(a+4\pi\) ?
— \(a-2\pi\) ?
— \(a-4\pi\) ?
— \(-a\) ?
— \(-a+2\pi\) ?
— \(-a+4\pi\) ?
— \(-a-2\pi\) ?
— \(-a-4\pi\) ?
— autre proposition ?

Denier essai avant abandon.

Combien vaut \(y\) si \(t=5\pi/11\) ? si \(t = -6\pi/13\) ?

Et si on dérive : $\quad
\begin{aligned}[t]
\big[\arccos\big(2x\cdot\sqrt{1-x^2}\big) \big]'
& =
- \frac{2}{\sqrt{
1-(2x\cdot\sqrt{1-x^2})^2
}}
\cdot
\big[
x\cdot\sqrt{1-x^2}
\big]' \\
& =
- \frac{2}{\sqrt{
1-4x^2 + 4x^4
}}
\cdot
\big[
\sqrt{1-x^2} -
\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}
\big] \\
& =
- \frac{2}{2x^2-1}
\cdot
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\big[
(1-x^2) - x^2
\big] \\
& = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}
= 2 \cdot \arcsin'(x)
\end{aligned}
$

Donc $\arccos\big(2x\cdot\sqrt{1-x^2}\big) = 2 \cdot \arcsin(x)+\text{cst}$.

Euh oui, il manque un peu des valeurs absolues : $
- \frac{2}{\sqrt{
1-4x^2 + 4x^4
}} =
- \frac{2}{\sqrt{
(1-2x^2)^2
}} = \frac{2}{|1-2x^2|}
$
et donc $
\big[\arccos\big(2x\cdot\sqrt{1-x^2}\big) \big]'
= \text{sgn}(2x^2-1) \cdot 2 \cdot \arcsin'(x)$.

Reste à remplacer les $x$ par des $\sin(t)$, et à identifier les constantes d'intégration.

Bah oui, c'est une constante locale, mais elle ne passe pas très bien à la simplification $\frac{1-2x^2}{2x^2-1}$ au moment des formes indéterminées, et du coup, elle trébuche aux $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Donc c'est sûr qu'il peut lui arriver de varier un peu ! X:-(

Euh… \(\cos(a-\pi)\) est en général différent de \(\cos a\).