Peut-on simplifier cette expression
Réponses
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Bonjour,
Quelle difficulté rencontres-tu ?
\begin{align*} \sqrt{1-x^2} &= \sqrt{1-\sin^2t} = \dots \\ 2x\sqrt{1-x^2} &= \dots \\ \dots \end{align*} -
J'arrive à $\cos(y)=\sin(2t)=\cos(\pi/2-2t),$
donc $y=\pi/2-2t+2k\pi$ comment terminer ? -
La fonction arc cosinus est à valeurs dans \([0,\pi]\).
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on cherche la valeur k pour que y soit entre 0 et $\pi$ ?
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On sait dans quel intervalle vit \(t\).
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oui donc $\pi/2-2t+2k\pi$ est dans $[-\pi/2+2k\pi, 3\pi/2+2k\pi]$
et ce dernier doit être inclus dans [0,\pi] ? -
Il faut effectivement définir \(k\) en fonction de \(t\) pour obtenir une valeur de \(y\) appartenant à \([0,\pi]\).
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mais si j'impose a $3\pi/2+2k\pi <\pi $ et $-\pi/2+2k\pi>0$ je trouve une contradiction
comment faire ? -
Topotopo écrivait:
mais si j'impose a $3\pi/2+2k\pi <\pi $ et $-\pi/2+2k\pi>0$ je trouve une contradiction
Je ne vois pourquoi imposer ces conditions.
La question est de déterminer \(k\) entier en fonction de \(t\) pour avoir :
\[0 \leqslant \frac{\pi}2-2t+2k\pi \leqslant \pi\] -
ok donc si je ne me trompe pas $k\in [-1/4+t/\pi, 1/4+t/\pi]$
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je fais quoi après ?
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\(k\) doit être entier et la longueur de l'intervalle que tu proposes n'est que \(1/2\) …
S'il n'y a pas d'entier dans cet intervalle, c'est ennuyeux.
Tu as raté quelque chose en cours de route.
Il faut reprendre les calculs soigneusement. -
il ya k=0 non ?
-
$$
0\leq \pi/2-2t+2k\pi\leq\pi\Rightarrow -\pi/2+2t\leq 2k\pi\leq \pi-\pi/2+2t\Rightarrow -1/4+t/\pi\leq k\leq 1/4+t/\pi \Rightarrow -3/4\leq k\leq 3/4
$$
car $-\pi/2\leq t\leq \pi/2$ donk k=0 -
Si \(=\pi/3\) ?
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qui est égal a $\pi/3$ ?
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si $ t=\pi/3$ il ya un problème effectivement k n'existe pas
ou est le problème , dans l'intervalle de t ? -
Il faudrait revoir le calcul de \(y\).
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J'ai refait les calcules et je retrouve la meme chose
$y=\frac{\pi}{2}-2t+2k\pi $ ou $ y=\frac{\pi}{2}+2t+2k\pi$
le premier cas donne que $-1/4+t/\pi\leq k\leq 1/4+t/\pi$ et le 2eme cas $-1/4-t/\pi\leq k\leq 1/4-t/\pi$ -
je pense qu'il faut réduire le domaine de t a $[-\pi/4,\pi/4]$
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Quelles sont les solutions de l'équation \(\cos x = \cos a\) ?
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$x=a+2k\pi $ ou $x=-a+2k\pi$
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J'ai fait une erreur
soit $y=\frac{\pi}{2}-2t+2k\pi$ ou $y=-\frac{\pi}{2}+2t+2k\pi$ -
Donc soit $\frac14-\frac{t}{\pi}\leq k\leq \frac34-\frac{t}{\pi}$ ou soit $-\frac{1}{4}+\frac{t}{\pi}\leq k\leq \frac14+\frac{t}{\pi}$
comment faire après s'il vous plait ? -
Tu as deux intervalles de longueur \(1/2/) qui sont contigus : un seul contient un entier.
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Je ne sais pas comment le trouver
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est ce que je le trouve en remplaçant t par pi/3, pi/4 ... ?
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On reprend du début avec :
\begin{align*} y &= \arccos(2x\sqrt{1-x^2}) \in [0,\pi] & t &= \arcsin x \in [-\pi/2,\pi/2] \end{align*}
dont on déduit:
\[\cos y = cos \left( \frac{\pi}{2} - 2t\right)\]
La question à se poser est : à quel intervalle \(\frac{\pi}{2} - 2t\) appartient-il ?
D'après la réponse, on en déduit \(y\). -
il est dans $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$
-
comment déduire maintenant? s'il vous plait
-
Si \(\frac{\pi}{2} - 2t\) appartient à \([0,\pi]\), alors c'est la valeur de \(y\).
Mais si \(\frac{\pi}{2} - 2t\) appartient à \([-\pi/2,0]\) ou à \([\pi,3\pi/2]\), quelle sera la valeur de \(y\) ? -
Si $\frac{\pi}/2-2t\in [-\frac{\pi}{2}, 0]$ alors je trouve $k\in [0,3/4]$ donc k=0
et dans le 2eme cas $k\in [-3/4,0]$ i.e k=0
donc dans tous les cas $y=\pi/2-2t$ -
Je ne veux pas de \(k\).
J'ai
\begin{align*} \cos y &= \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2t \right) & y&\in[0,\pi] & t&\in[-\pi/2,0] \end{align*}
et je veux connaître la valeur de \(y\).
J'ai
\begin{align*} \cos y &= \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2t \right) & y&\in[0,\pi] & t&\in[\pi,3\pi/2] \end{align*}
et je veux connaître la valeur de \(y\). -
C'est moi Topotopo:
Je ne sais pas comment faire -
Oh ! Plot twist ! (:P)
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Je n'arrive pas a ouvrir mon compte par mon portable
s'il vous plaît dites moi comment faire un indice je ne vois pas comment trouver y -
Bonjour,
Je n'arrive toujours pas a répondre a la question
Si $t\in [-\frac{\pi}{2},0]$ alors $\frac{\pi}{2}-2t\in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$
Je n'arrive pas a conclure -
Un petit dessin sur un cercle trigonométrique suffit à déterminer l'unique solution dans \([0,\pi]\) de l'équation \(\cos y = \cos a\),
— si \(a\in[-\pi/2,0]\) ;
— si \(a\in[\pi,3\pi/2]\).
On utilise ensuite ce résultat pour \(a= \frac{\pi}{2} - 2t\).
Il n'y a rien de bien sorcier. -
dans notre cas $a\in [\pi/2,3\pi/2]$
mais je n'arrive toujours pas a voir comment il faut faire meme avec le dessin je ne vois rien -
Si \(a\) est dans \([\pi,3\pi/2]\) la solution de l'équation \(\cos y = \cos a\) dans \([0,\pi]\) est :
— \(a\) ?
— \(a+2\pi\) ?
— \(a+4\pi\) ?
— \(a-2\pi\) ?
— \(a-4\pi\) ?
— \(-a\) ?
— \(-a+2\pi\) ?
— \(-a+4\pi\) ?
— \(-a-2\pi\) ?
— \(-a-4\pi\) ?
— autre proposition ? -
Je ne comprends pas $-\frac{\pi}{2}-2t\in [\pi,3\pi/2]$ ou $t\in[\pi,3\pi/2]$ ?
-
Denier essai avant abandon.
Combien vaut \(y\) si \(t=5\pi/11\) ? si \(t = -6\pi/13\) ? -
Si $t=5\pi/11$ alors $\pi/2-2t=\pi/2-10\pi/11$
alors $cos(y)=cos(\pi/2-10\pi/11)=cos (9\pi/11)$
donc $y=arccos(cos (9\pi/11)=9\pi/11$ -
Et si on dérive : $\quad
\begin{aligned}[t]
\big[\arccos\big(2x\cdot\sqrt{1-x^2}\big) \big]'
& =
- \frac{2}{\sqrt{
1-(2x\cdot\sqrt{1-x^2})^2
}}
\cdot
\big[
x\cdot\sqrt{1-x^2}
\big]' \\
& =
- \frac{2}{\sqrt{
1-4x^2 + 4x^4
}}
\cdot
\big[
\sqrt{1-x^2} -
\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}
\big] \\
& =
- \frac{2}{2x^2-1}
\cdot
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\big[
(1-x^2) - x^2
\big] \\
& = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}
= 2 \cdot \arcsin'(x)
\end{aligned}
$
Donc $\arccos\big(2x\cdot\sqrt{1-x^2}\big) = 2 \cdot \arcsin(x)+\text{cst}$.
Euh oui, il manque un peu des valeurs absolues : $
- \frac{2}{\sqrt{
1-4x^2 + 4x^4
}} =
- \frac{2}{\sqrt{
(1-2x^2)^2
}} = \frac{2}{|1-2x^2|}
$
et donc $
\big[\arccos\big(2x\cdot\sqrt{1-x^2}\big) \big]'
= \text{sgn}(2x^2-1) \cdot 2 \cdot \arcsin'(x)$.
Reste à remplacer les $x$ par des $\sin(t)$, et à identifier les constantes d'intégration. -
marsup écrivait:
Donc $\arccos\big(2x\cdot\sqrt{1-x^2}\big) = 2 \cdot \arcsin(x)+\text{cst}$.
Donc :
\begin{align*}
x &= -1 & \arccos(0) &= 2 \arcsin(-1)+\text{cst} & \text{cst} &= \frac{3\pi}{2} \\
x &= 0 & \arccos(0) &= 2 \arcsin(0)+\text{cst} & \text{cst} &= \frac{\pi}{2} \\
x &= 1 & \arccos(0) &= 2 \arcsin(1)+\text{cst} & \text{cst} &= -\frac{\pi}{2} \\
\end{align*}
Quelle constante ! -
Bah oui, c'est une constante locale, mais elle ne passe pas très bien à la simplification $\frac{1-2x^2}{2x^2-1}$ au moment des formes indéterminées, et du coup, elle trébuche aux $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Donc c'est sûr qu'il peut lui arriver de varier un peu ! X:-( -
Si $a\in [\pi,3\pi/2]$ alors $y=a-\pi$ car $0<a-\pi<\pi$
c'est juste ? -
Euh… \(\cos(a-\pi)\) est en général différent de \(\cos a\).
-
mais $a+2\pi$ est inclus dans $[3\pi,7\pi/2]$
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Bonjour!
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