Problème de Cauchy

gb donne la réponse, et de façon efficace (on utilise le théorème de sortie de tout compact, ou une version plus faible, pour montrer que les solutions maximales sont bornées et on conclut qu'elles sont globales).
Je veux juste proposer une réponse alternative avec Cauchy-Lipschitz global.


La fonction second membre $f:t,y \mapsto t \frac{y}{1+y^{2}} $ est $C^{1}(\mathbb{R}^{2})$, et s'écrit comme le produit d'une fonction en temps (linéaire) et d'une fonction en espace qui est de dérivée bornée (disons par la constante $k$) en valeur absolue, ce qui assure que sur tout compact en temps la fonction second membre est globalement lipschitzienne en sa seconde variable (la constante ne dépend pas du temps): $\forall t, y_{1}, y_{2} \in \mathbb{R}, \, \, \left \| f(t,y_{1})-f(t,y_{2}) \right \|\leq k |t| \left \| y_{1}-y_{2} \right \|$, soit $\forall t \in [-T, T], \forall y_{1}, y_{2} \in \mathbb{R}, \, \, \left \| f(t,y_{1})-f(t,y_{2}) \right \|\leq kT \left \| y_{1}-y_{2} \right \|$.

Par Cauchy-Lipschitz global, on peut en déduire qu'il existe une unique solution maximale, qui est globale, sur tout intervalle $]-T, T[$. Ce raisonnement permet d'étendre naturellement l'unicité de la solution maximale à $\mathbb{R}$ tout entier.
On retrouve donc qu'il existe une unique solution maximale, et qu'elle est globale.